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Teoremi di esistenza degli zeri e dei valori intermedi per funzioni in più variabili

Esempi, Teoria Funzioni di più variabili

Home » Teoremi di esistenza degli zeri e dei valori intermedi per funzioni in più variabili

 
 

Autori e revisori

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Autori: Andrea Gentile, Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti.


 
 

Introduzione

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Un’intuizione riguardo alle funzioni continue è che esse deformano “senza strappi” il dominio nel codominio. Se il dominio di una funzione continua è un insieme connesso, ovvero non può essere suddiviso in due pezzi “ben separati”, ne segue quindi che la sua immagine deve rimanere connessa. Quando il codominio è la retta reale, questa intuizione si concretizza nei teoremi di esistenza degli zeri e dei valori intermedi, che possiamo assumere dicendo che, se f assume due valori diversi, allora assume anche tutti i valori compresi tra questi due.

In questo articolo presentiamo il teorema dei valori intermedi e di esistenza degli zeri per funzioni di più variabili, oltre a una loro generalizzazione per funzioni a valori vettoriali: l’immagine di un insieme connesso è connessa.


 
 

Prerequisiti

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In questa sezione ricordiamo le nozioni propedeutiche agli argomenti trattati nell’articolo, rimandando alla dispensa completa sui limiti e la continuità di funzioni in più variabili per approfondimenti e dimostrazioni.

Ricordiamo che, dato X un sottoinsieme di \mathbb{R}^n, un insieme E \subseteq X si dice aperto in \bm{X} se esiste un aperto A di \mathbb{R}^n tale che E = A \cap X.

\[\quad\]

Definizione 1. Sia E \subseteq \mathbb{R}^n un insieme. Diremo che E è connesso se non esistono due insiemi A_1, \, A_2 aperti in E tali che

\[\quad\]

  1. A_1 \neq \emptyset, \, A_2 \neq \emptyset;

    2.  

  2. A_1 \cap A_2 = \emptyset;

    3.  

  3. A_1 \cup A_2 = E.

Ricordiamo che una funzione f \colon E \to \mathbb{R}^m si dice continua in x_0 se questo è un punto isolato per E oppure se

\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0). \]

Si dice inoltre che f è continua in {E} se f è continua in ogni punto di E.

Diamo ora una caratterizzazione globale della continuità, che usa le nozioni di insiemi aperti in un sottoinsieme di \mathbb{R}^n.

\[\quad\]

Teorema 2 (caratterizzazione delle funzioni continue). Sia E \subseteq \mathbb{R}^n, e sia f : E \to \mathbb{R}^m una funzione. Sono equivalenti le seguenti affermazioni:

\[\quad\]

  1. f è continua;

    2.  

  2. per ogni insieme aperto A \subseteq \mathbb{R}^m, la controimmagine f^{-1}(A) è aperta in E;

 

Il teorema di esistenza degli zeri

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