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Strumenti per il calcolo dei limiti in più variabili, con esempi svolti

Esempi, Teoria Funzioni di più variabili

Home » Strumenti per il calcolo dei limiti in più variabili, con esempi svolti

 
 

Autori e revisori

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Autori: Andrea Gentile, Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti.


 
 

Introduzione

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Il calcolo dei limiti per funzioni in più variabili risulta notevolmente diverso da quello per funzioni di una variabile. Per funzioni di più variabili il calcolo è spesso meno “meccanico” e non esistono strumenti e procedure universalmente validi.

In questo articolo proponiamo però alcuni strumenti e strategie che si rivelano estremamente utili nel calcolo dei limiti di funzioni di più variabili e ne illustriamo l’applicazione in numerosi esempi completamente svolti.


 

Prerequisiti

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In questa sezione elenchiamo i principali risultati che utilizzeremo nell’articolo, rimandando alla dispensa completa sui limiti e continuità di funzioni in più variabili per le relative dimostrazioni.

\[\quad\]

Teorema 1 (limiti delle restrizioni a curve). Sia f \colon E \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m una funzione e sia x_0 \in \mathbb{R}^n un punto di accumulazione per E. Supponiamo inoltre che \varphi \colon I \to \mathbb{R}^n sia una curva tale che

(1) \begin{equation*} \varphi(t_0)=x_0, \qquad \varphi \bigl( I \setminus \{x_0\} \bigr) \subseteq E \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

Se vale

(2) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x)= \ell, \end{equation*}

allora si ha anche

(3) \begin{equation*} \lim_{t \to t_0}f(\varphi(t)) = \ell. \end{equation*}

In particolare, se \varphi_1,\varphi_2 sono due curve siffatte tali che \lim_{t \to t_0} f(\varphi_1(t)) \neq \lim_{t \to t_0} f(\varphi_2(t)), allora la funzione f non possiede limite per x \to x_0.

\[\quad\]

Teorema 2 (del confronto per limiti infiniti). Sia E \subseteq \mathbb{R}^n, sia x_0 \in \mathbb{R}^n un punto di accumulazione per E e siano f,g \colon E\to \mathbb{R} due funzioni. Supponiamo che esista r>0 tale che

(4) \begin{equation*} f(x) \leq g(x) \qquad \forall x \in E \cap B_{r}(x_0) \setminus \{ x_0 \}. \end{equation*}

  1. Se \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty, allora anche g ha limite in x_0 e vale

    (5) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty. \end{equation*}

    2.  

  2. Se \lim_{x \to x_0} g(x) = -\infty, allora anche f ha limite in x_0 e vale

    (6) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty. \qedhere \end{equation*}

\[\quad\]

Teorema 3 (del confronto, o dei carabinieri). Sia E \subseteq \mathbb{R}^n, x_0 un punto di accumulazione per E e siano f,g,h \colon E \to \mathbb{R} tre funzioni. Se esiste r>0 tale che

(7) \begin{equation*} g(x) \leq f(x) \leq h(x) \qquad \forall x \in E \cap B_r(x_0) \setminus \{ x_0 \}, \end{equation*}

e

\[ \lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = \ell \in \mathbb{R}, \]

allora esiste il limite di f in x_0 e vale

(8) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

\[\quad\]

Proposizione 4 (cambio di variabile nei limiti). Siano E \subseteq \mathbb{R}^n, F \subseteq \mathbb{R}^m, siano x_0 \in \mathbb{R}^n e y_0 \in \mathbb{R}^m punti di accumulazione rispettivamente per E e F e siano f \colon E \to F e g \colon F \to \mathbb{R}^d soddisfacenti

(9) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0}f(x) = y_0 \qquad \text{ e } \qquad \lim_{y \to y_0} g(x) = \ell. \end{equation*}

Se, in aggiunta, vale f(x) \neq y_0 in una palla B_r(x_0) oppure vale g(y_0) = \ell, allora si ha

\[ \lim_{x \to x_0} g \bigl( f(x) \bigr) = \ell. \]

\[\quad\]


 
 

Strumenti e strategie per il calcolo dei limiti in più variabili

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