Esercizi di geometria affine nel piano

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$\begin{array}{lp{0.7\textwidth}} \mathbb{N} & \text{Insieme dei numeri naturali.} \\ \mathbb{R} & \text{Insieme dei numeri reali.} \\ \mathbb{A}^2(\mathbb{R}) & \text{Piano affine reale.} \\ \mathbf{i}, \mathbf{j} & \text{Versori coordinati in } \mathbb{R}^2. \end{array}$

Richiami di teoria

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In questa sezione richiamiamo brevemente (e informalmente) le equazioni parametriche e cartesiane di rette nel piano affine reale $\mathbb{A}^2(\mathbb{R})$ . Il lettore interessato ad approfondire tali concetti può consultare ad esempio il testo [1 ]. Nel piano affine bidimensionale una retta $r$ può essere identificata a partire da un suo punto $A=(x_A,y_A)\in r$ e un vettore $v=(v_x,v_y)\in\mathbb{R}^2$ detto vettore direttore. Tutti i punti $P=(x,y)\in r$ che possono essere ottenuti traslando $A$ nella direzione di un vettore proporzionale, tramite un coefficiente $t\in\mathbb{R}$ al vettore direttore $v$ :

$\begin{equation*} P=A+tv,\quad t\in\mathbb{R} \quad \longrightarrow \quad \begin{cases} x=x_A+tv_x\\ y=y_A+tv_y. \end{cases} \end{equation*}$

La variabile $t\in\mathbb{R}$ è detta parametro e le equazioni a sistema sono dette equazioni parametriche della retta. Notiamo quindi che dall’equazione parametrica della retta possiamo leggere per ispezione diretta un punto per cui essa passa e un vettore direttore.

Assumiamo adesso $v_x\neq 0$ . Isolando il parametro nella prima equazione e sostituendolo nella seconda, si ottiene l’equazione cartesiana della retta:

$\begin{equation*} v_y x - v_x y+y_A v_x-x_A v_y=0 \quad\longrightarrow\quad ax+by+c=0, \end{equation*}$

dove a destra della freccia abbiamo rinominato i coefficienti usando le lettere $a,\,b,\,c\in\mathbb{R}$ . Allo stesso risultato si perviene nel caso in cui sia non nullo $v_y$ ricavando $t$ dalla seconda equazione e sostituendolo nella prima. In questo caso la retta è individuata non tramite una corrispondenza biunivoca fra valore del parametro e punto, ma come luogo degli zeri di una funzione nelle variabili reali $x$ ed $y$ .

Notiamo quindi che dall’equazione cartesiana è possibile determinare per ispezione diretta un vettore direttore, infatti

$\begin{equation*} n=(a,b)=(v_y,-v_x) \implies v=(v_x,v_y)=(-b,a). \end{equation*}$

osserviamo inoltre che il vettore $n=(a,b)$ è ortogonale ¹ al vettore $v$ e quindi è ortogonale alla retta stessa. Tale condizione può essere verificata effettuando il prodotto scalare fra $n$ e $v$ :

$n\cdot v=v_x v_y-v_y v_x=0.$

Analogamente, dato un vettore $n=(n_x,n_y)\in\mathbb{R}^2$ ortogonale ad $r$ e un punto $A=(x_A,y_A)\in r$ , l’equazione cartesiana della retta ortogonale a $n$ e passante per $A$ può essere determinata dalla condizione di ortogonalità fra un generico vettore direttore di $r$ ed $n$ . Dato un generico punto $P\in r$ di coordinate $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ ciò si traduce in:

$\begin{equation*} (P-A)\cdot n=0 \quad\longrightarrow \quad(x-x_A)n_x+(y-y_A)n_y=0. \end{equation*}$

Ulteriori digressioni teoriche di carattere generale saranno preposte alla soluzione degli esercizi pertinenti.

$\[\]$

Osserviamo, per completezza, che si sta dotando $\mathbb{R}^2$ di un prodotto scalare (ovvero di una struttura euclidea): la nozione di ortogonalità è riferita al prodotto scalare scelto. Le coordinate dei vettori sono determinate rispetto alla base canonica che, per costruzione, è una base di vettori ortogonali e di norma uno rispetto a tale prodotto scalare. ↩

Testi degli esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare i vettori direttori delle seguenti equazioni cartesiane di rette nel piano:

$r_1\colon 2x+3y-1=0$ ;
$r_2\colon 6y-2x=0$ ;
$r_3\colon x-y+3=0$ ;
$r_4\colon x+y+1=0$ ;
$r_5\colon y-4x+8=0$ .

Svolgimento.

Seguendo quanto detto precedentemente, \eqref{norm}, i vettori direttori delle rette possono essere ricavati per ispezione diretta a partire dai coefficienti del polinomio a sinistra dell’uguale.

$v_1=(-3,2)$ .
$v_2=(-6,-2)$ .
$v_3=(1,1)$ .
$v_4=(-1,1)$ .
$v_5=(-1,-4)$ .

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Tra tutte le rette parallele a

$r\colon x-2y=0,$

trovare:

la retta $r_1$ passante per il punto $P=(1,-1)$ ;
la retta $r_2$ che interseca la retta
$s\colon\begin{cases} x=t\\ y=3t+1\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}$
nel suo punto $Q$ di seconda coordinata pari a $7$ .

Scrivere sia in forma parametrica che cartesiana le rette trovate.

Svolgimento.

Ricaviamo per ispezione diretta il vettore normale ad $r$ : $n=(1,-2)$ , (3). Dunque la retta $r_1$ cercata, passante per $P$ e avente $n$ come vettore normale ha equazione cartesiana data da (4): $(x-1)-2(y+1)=0$ , cioè
$r_1\colon x-2y-3=0.$

La retta può essere espressa in forma parametrica applicando la (1), osservando che il vettore direttore è dato da $v=(-2,-1)$ :

$r_1\colon\begin{cases} x=1-2t\\ y=-1-2t, \end{cases}t\in\mathbb{R}.$
Determiniamo in primo luogo l’ascissa del punto $Q$ . Dato che $Q\in s$ , esso soddisfa la sua equazione parametrica. Sapendo che l’ordinata di $Q$ è $7$ ricaviamo il parametro e determiniamo l’ascissa:
$\begin{cases} x=t\\ 7=3t+1 \end{cases}\iff \begin{cases} x=2\\t=2. \end{cases}$

La generica retta parallela a $r$ , dunque avente vettore normale $n$ , è data in forma cartesiana da

$x-2y+\alpha=0,\quad \alpha\in\mathbb{R}.$

Imponendo il passaggio per $Q\,(2,7)$ , otteniamo l’equazione

$2-2\cdot 7 + \alpha=0,$

da cui si ricava $\alpha=12$ . La retta cercata è dunque

$r_2\colon x-2y+12=0.$

Alternativamente si può procedere come nel punto precedente e ricavare l’equazione cartesiana usando la (4).

Ricaviamo adesso l’equazione parametrica. Sapendo che $r_2$ ha $v$ per vettore direttore e passa per $Q$ , la (1) restituisce immediatamente:

$r_2:\begin{cases} x=2-2t\\y=7-t, \end{cases}t\in\mathbb{R}.$

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Tra tutte le rette parallele a

$\begin{cases} x=t+1\\y=1-t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$

trovare:

la retta $s_1$ che passa per il punto $P=(0,1)$ ;
la retta $s_2$ che interseca la retta
$s\colon 8x+y=0$
nel suo punto $Q$ che ha prima coordinata pari a $-1$ .

Scrivere in forma sia parametrica che cartesiana le rette trovate.

Svolgimento.

Il vettore direttore della retta $r$ , e quindi anche di $s_1$ , si ricava per ispezione diretta dall’equazione parametrica data: $v=(1,-1)$ . Dalla (1) troviamo quindi subito $s_1$ :
$s_1\colon\begin{cases} x=t\\y=1-t, \end{cases}t\in\mathbb{R}.$

Sostituendo la prima equazione nella seconda per eliminare il parametro $t$ ricaviamo immediatamente l’equazione cartesiana:

$s_2\colon x+y-1=0.$

Determiniamo in primo luogo l’ordinata del punto $Q$ . Dato che $Q\in s$ , esso soddisfa la sua equazione cartesiana. Sapendo che l’ascissa di $Q$ è $-1$ ricaviamo l’ordinata:
$-8+y=0\iff y=8.$

La generica retta parallela a $r$ è data da $x+y+\alpha=0$ , al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$ . Imponendo il passaggio per $Q\,(-1,8)$ , otteniamo l’equazione

$-1+8 + \alpha=0,$

da cui si ricava $\alpha=-7.$

La retta cercata è dunque

$s_2\colon x+y-7=0.$

Alternativamente si può procedere ricavando l’equazione cartesiana usando la (4).

Noti il punto $Q$ di passaggio e il vettore direttore $v$ , l’equazione parametrica si ricava immediatamente dalla (1):

$s_2\colon\begin{cases} x=-1+t\\y=8-t, \end{cases}t\in\mathbb{R}.$

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare la posizione reciproca delle seguenti coppie di rette nel piano. Nel caso siano incidenti, trovare il punto di intersezione.

$r\colon\begin{cases} x=7-t\\y=t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$ $\quad s\colon x+1=0$ ;
$r:\begin{cases} x=t+1\\y= 2t+3, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$ $\quad s\colon 2x-y=0$ ;
$r\colon 2x+y+12=0\quad \qquad\qquad s:\begin{cases} x=-4t\\ y=8t -12, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$ ;
$r\colon \begin{cases} x=v^3\\y= 1+v^3, \end{cases}\quad v\in\mathbb{R}$ $\quad s:\begin{cases} x=u\\y=1-u, \end{cases}\quad u\in\mathbb{R}$ .

Svolgimento.

Lo studio analitico della posizione reciproca di due rette nel piano si effettua mettendo in un sistema unico le equazioni (analitiche o cartesiane che siano) delle due rette e studiandone le soluzioni. Le possibilità sono tre

Rette parallele: il sistema non ammette soluzioni.
Rette incidenti: il sistema ammette un’unica soluzione che determina il punto in cui si incontrano le due rette.
Rette coincidenti: il sistema è indeterminato e ammette $\infty^1$ soluzioni corrispondenti a tutti i punti delle due rette le quali, infatti, coincidono.

Il sistema da studiare comprende l’equazione parametrica della retta $r$ e l’equazione cartesiana della retta $s$ :
$\begin{cases} x=7-t\\y=t\\x+1=0. \end{cases}$

Confrontando la prima e la terza equazione (da cui ri ricava subito $x=-1$ ) otteniamo immediatamente $t=8$ , che sostituito nella seconda equazione retituisce $y=8$ .

Le rette sono quindi incidenti in $P=(-1,8)$ .
Il sistema da studiare comprende nuovamente l’equazione parametrica della retta $r$ e l’equazione cartesiana della retta $s$ :
$\begin{cases} x=t+1\\y=2t+3\\2x-y=0. \end{cases}$

La procedura più comoda in questo caso consiste nel sostituire le equazioni parametriche della retta $r$ nell’equazione cartesiana della retta $s$ , ottenendo:

$2t+2-2t-3=0\iff 1=0.$

Il sistema è quindi impossibile e le rette sono parallele.
Il sistema da studiare comprende l’equazione parametrica della retta $s$ e l’equazione cartesiana della retta $r$ :
$\begin{cases} 2x+y+12=0\\x=-4t\\y=8t-12 \end{cases}$

La procedura più comoda in questo caso consiste nel sostituire le equazioni parametriche della retta $s$ nell’equazione cartesiana della retta $r$ , ottenendo:

$-8t+8t-12+12=0\iff 0=0.$

Il sistema è quindi indeterminato e le due rette sono coincidenti.
In questo caso la retta $s$ è presentata in una forma che può suscitare confusione, essendo data in forma parametrica, ma con il cubo del parametro all’interno delle equazioni. Per convincerci che l’equazione comunque descrive una retta possiamo sostituire la prima nella seconda, ottenendo l’equazione
$y=x+1,$

la quale rappresenta senza dubbio una retta in forma cartesiana, (2).

In generale un oggetto geometrico può essere \textit{riparametrizzato} a nostro piacimento senza che la sua immagine venga alterata, ciò in alcuni casi corrisponde intuitivamente al fatto che una curva può essere percorsa con velocità diverse. Più formalmente, data la parametrizzazione di una retta come in (1), un aperto $A\subset\mathbb{R}$ ed una qualsiasi funzione $f\colon A\to\mathbb{R}$ continua e invertibile, l’equazione

$\begin{cases} x=x_A+f(l)v_x\\ y=x_B+f(l)v_y, \end{cases}l\in A$

rappresenta sempre la stessa retta, ma percorsa con una velocità potenzialmente non costante e determinata dalla funzione invertibile $f$ , che nel caso dell’esercizio in esame è $f(l)=l^3$ . Effettuando il cambio di variabile $t=f(l)$ recuperiamo l’equazione parametrica nella forma standard (1).

Terminata la digressione, passiamo alla risoluzione dell’esercizio mettendo a sistema l’equazione cartesiana di $r$ con le equazioni parametriche di $s$ .

$\begin{cases} y=x+1\\ x=u\\ y=1-u. \end{cases}$

La procedura più comoda in questo caso consiste nel sostituire le equazioni parametriche della retta $s$ nell’equazione cartesiana della retta $r$ , ottenendo:

$1-u=u+1 \iff u=0,$

che, sostituito nelle equazioni parametriche di $s$ , assicura che le rette sono incidenti in $P=(0,1)$ .

Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia data in forma parametrica la retta

$r\colon\begin{cases}x=-t+1\\y=2t+3,\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.$

Trovare le equazioni cartesiane di $r$ ;
Determinare sia in forma parametrica che cartesiana la retta $s$ parallela a $r$ passante per il punto $P=(1,1)$ .

Svolgimento.

Per ricavare l’equazione cartesiana di $r$ ricaviamo il parametro $t$ dalla prima equazione
$t=1-x$

e lo sostituiamo nell seconda :

$y=2(1-x)+3 \iff y=-2x+5.$
Il vettore direttore della retta $r$ , e quindi anche della parallela $s$ , si ricava confrontando l’equazione con la forma generale (1):
$v=(-1,2),$

e sempre dalla stessa equazione, dati $v$ e $P$ otteniamo le equazioni parametriche di $s$ :

$s\colon \begin{cases} x=-t+1\\y=2t+1 \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}.$

Per ricavare l’equazione cartesiana possiamo risolvere l’equazione parametrica eliminando il parametro $t$ oppure, senza passare dall’equazione parametrica, noto il vettore direttore $v$ , possiamo sfruttare l’equazione (3) per trovare il vettore normale $n=(2,1)$ . Dall’equazione (4) segue quindi:

$2(x-1)+(y-1)=0 \iff 2x+y-3=0.$