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Esercizio 9          (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia f \colon A \to \mathbb{R}, sia x_0 un punto di accumulazione per A e si supponga che \lim_{x \to x_0} f(x)=+\infty. Provare che si ha

    \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = 0. \end{equation*}

 

L’equazione del calore modellizza la trasmissione nel calore attraverso un mezzo omogeneo. Nel caso unidimensionale che ci siamo proposti di esaminare, il problema fisico che stiamo considerando è quello di determinare la temperatura di una barretta di materiale omogeneo di lunghezza L, che possiamo considerare unidimensionale. Tale barretta è modellizzata con un segmento descritto dalla coordinata x, che varia appunto tra 0 e L. La quantità u(x,t) rappresenta la temperatura nel punto x \in [0,L] al tempo t \geq 0. Per l’esercizio 9.

Per la dimostrazione di pippo cliccare qui [1].

  1. (1)   \begin{gather*} \beta=0 \quad \Longrightarrow \quad F(x)=Ax+B \qquad \forall x \in [0,L], \\ \beta=p^2>0 \quad \Longrightarrow  \quad F(x)=A e^{-px}+B e^{px} \qquad \forall x \in [0,L], \\ \beta=-p^2<0 \quad \Longrightarrow \quad F(x)=A\cos(px)+B\sin(px) \qquad \forall x \in [0,L], \end{gather*}

    con A,B \in \mathbb{R}. Affinché si abbia F(0)=F(L)=0,

Dimostrazione alternativa pippo.

(2)   \begin{gather*} \beta=0 \quad \Longrightarrow \quad F(x)=Ax+B \qquad \forall x \in [0,L], \\ \beta=p^2>0 \quad \Longrightarrow  \quad F(x)=A e^{-px}+B e^{px} \qquad \forall x \in [0,L], \\ \beta=-p^2<0 \quad \Longrightarrow \quad F(x)=A\cos(px)+B\sin(px) \qquad \forall x \in [0,L], \end{gather*}

con A,B \in \mathbb{R}. Affinché si abbia F(0)=F(L)=0, i primi due casi sono possibili solo per A=B=0, che producono F identicamente nulla e quindi priva di significato fisico. L’unica possibilità è quindi che \beta =-p^2 <0. Imponendo la condizione F(0)=F(L)=0 si ricava

(3)   \begin{equation*} F(0)=A=0, \quad F(L)=B\sin (p L)=0. \end{equation*}

Dato che deve valere B\neq 0, da \sin (pL)=0 ricaviamo

    \[p=\frac{k \pi}{L} \eqqcolon \lambda_k,\qquad k=1,2,3,\ldots\]

Ricaviamo la successione di soluzioni F_k \colon [0,L] \to \mathbb{R} definite da

(4)   \begin{equation*} F_k(x)=\sin\left(\frac{k\pi}{L}x\right) \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\,\,\forall x \in [0,L]. \end{equation*}

Osserviamo ora che, fissato k \in \mathbb{N}, per p=\frac{k \pi}{L} si ha

(5)   \begin{equation*} \beta = -\left(\frac{k\pi}{L}\right)^2. \end{equation*}

Ricordando che \lambda_k = \frac{k \pi}{L} per ogni k \in \mathbb{N}, l’equazione \eqref{eq:calore_G} diviene

(6)   \begin{equation*} \dot{G_k}(t) = - \alpha \lambda_k^2 G_k(t)  \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\,\forall t \in [0,+\infty). \end{equation*}

La soluzione generale di tale equazione è

(7)   \begin{equation*} G_k(t)=B_k e^{-\alpha\lambda^2_k t} \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\,\forall t \in [0,+\infty), \end{equation*}

con B_k \in \mathbb{R}. Ricordando che stiamo cercando funzioni u_k del tipo F_k G_k, è facile mostrare la seguente proprietà.


Esercizi su forza elettrostatica e campo elettrico
Mentre nel testo:


… elemento di sinistra 1…

… elemento di sinistra 2…


… elemento di destra 1…

… elemento di destra 2…






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