Esercizi svolti trasformata zeta

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Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Si consideri l’equazione polinomiale

$(k+1)z^2-(5+2k)z+k+3=0,$

con $k\in\mathbb{Z}$ . Si richiede di determinare gli eventuali valori del parametro $k$ tali che le radici del polinomio in $z$ abbiano tutte modulo pari ad $2$ .

Svolgimento.

Grazie al cambio di variabili $t=z/2$ , il problema può essere ricondotto alla determinazione della stabilità del polinomio

$p(t)=\frac{k+1}{4}t^2-\frac{5+2k}{2}t+k+3.$

La stabilità di questo polinomio può essere analizzata attraverso l’utilizzo del criterio di Routh, dopo aver applicato una trasformazione aggiuntiva che mappa il cerchio di convergenza della variabile discreta nel semipiano di convergenza della variabile continua.

La trasformazione bilineare da applicare è:

$t=\dfrac{w+1}{w-1}.$

Questo permetterà di studiare la stabilità del sistema in modo efficace.

Si definisce il polinomio

(1) $\begin{equation*} \begin{align} q(w)&=(w-1)^2\left[\left(\dfrac{k+1}{4}\right)\left(\dfrac{w+1}{w-1}\right)^2-\left(\dfrac{5+2k}{2}\right)\left(\dfrac{w+1}{w-1}\right)+k+3\right]=\\[10pt] &=\left(\dfrac{k+1}{4}\right)\left({w+1}\right)^2-\left(\dfrac{5+2k}{2}\right)\left({w^2-1}\right)+\left(k+3\right)\left(w-1\right)^2=\\[10pt] &=\left(\dfrac{k+1}{4}\right)\left({w^2+1+2w}\right)-\left(\dfrac{5+2k}{2}\right)\left({w^2-1}\right)+\left(k+3\right)\left(w^2+1-2w\right)=\\[10pt] &=\left(\dfrac{k+1}{4}-\dfrac{5+2k}{2}+k+3\right)w^2+\left(\dfrac{k+1}{2}-2k-6\right)w+\dfrac{k+1}{4}+5+k+3=\\[10pt] &=\dfrac{k+3}{4}w^2-\dfrac{3k+11}{2}w+\dfrac{9k+23}{4}, \end{align} \end{equation*}$

da cui, applicando il criterio di Routh si ottiene la seguente tabella.

2	(k + 3)/4	(9k + 23)/4
1	(3k + 11)/2	0
0	(9k + 23)/4

Richiedendo che gli elementi della prima colonna siano non negativi, otteniamo che $k$ deve appartenere all’intervallo $[-3, +\infty)$ . Perché le radici siano esattamente zero, è necessario che $k$ sia uguale a $-3$ . Questa condizione implica anche che la variabile $z$ deve avere un modulo di $2$ , come richiesto dalla traccia.

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Consideriamo un sistema descritto dalla funzione di trasferimento discreta:

$G(z) = \frac{5}{z + \text{0,5}}.$

Dobbiamo trovare:

La risposta del sistema a un ingresso impulsivo $u(k) = \delta(k)$ (Delta di Dirac).
La risposta del sistema a uno scalino di ampiezza $1/2$ e il suo valore agli istanti discreti $k = 0$ , $k = 1$ , e $k = 2$ .

Figura 1.

Svolgimento.

Per entrambi i casi la trasformata dell’uscita è:

$Y(z)=G(z)\,U(z).$

La trasformata dell’ingresso è:
$U(z) = z\{\delta(k)\} = 1.$

Di conseguenza, l’uscita $Y(z)$ coincide con la funzione di trasferimento. Per semplificare l’analisi, dividiamo la funzione per $z$ e otteniamo:

$\frac{Y(z)}{z} = \frac{5}{z(z + \text{0,5})} = \frac{A}{z} + \frac{B}{z + \text{0,5}}.$

Calcolando i coefficienti $A$ e $B$ , otteniamo:

$A = \frac{5}{z + \text{0,5}}\bigg\vert_{z=0} = \frac{5}{\text{0,5}} = 10$

e

$B = \frac{5}{z}\bigg\vert_{z=-\text{0,5}} = -10.$

Pertanto, l’uscita $Y(z)$ può essere espressa come:

$Y(z) = 10 - \frac{10z}{z + \text{0,5}}.$

Eseguendo l’antitrasformata, otteniamo:

$y(k) = z^{-1}\{Y(z)\} = 10\delta(k) - 10(\text{0,5})^k.$
Lo scalino in ingresso è
$u(k)=0,5\,\text{sca}(k).$

La cui trasformata vale

$U(z)=Z\left\{u(k)\right\}=\dfrac{\text{0,5}}{\left(z-1\right)^2}.$

Dunque l’uscita vale

$Y(z)=U(z)\,G(z)=\dfrac{\text{2,5}}{(z-1)^2(z+\text{0,5})}.$

Hai fini dello sviluppo in fratti semplici si dividere per $z$ e si ottiene

$\dfrac{Y(z)}{z}=\dfrac{\text{2,5}}{(z-1)^2(z+\text{0,5})}=\dfrac{A}{(z-1)^2}+\dfrac{B}{z-1}+\dfrac{C}{z+\text{0,5}}.$

Si ha

$A=\dfrac{Y(z)(z-1)^2}{z}\bigg \vert_{z=1}=\dfrac{\text{2,5}}{1,5}=1,66\,,$

$B=\dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{Y(z)(z-1)^2}{z}\right)\bigg\vert_{z=1}=\dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{\text{2,5}}{z+\text{0,5}}\right) \bigg \vert_{z=1}=-\dfrac{\text{2,5}}{\left(z+\text{0,5}\right)^2}\bigg \vert_{z=1}=-1,1$

e

$C=\dfrac{Y(z)}{z}(z+\text{0,5})\bigg \vert_{z=-\text{0,5}}=\dfrac{\text{2,5}}{\text{1,5}^2}=1,1.$

Quindi

$Y(z)=\dfrac{\text{1,66}}{(z-1)^2}-\dfrac{1,1z}{z-1}+\dfrac{1,1z}{z+\text{0,5}}$

che ha come antitrasformata

$y(k)=z^{-1}\left\{Y(z)\right\}=\left(\text{1,66}k-\text{1,1}+\text{1,1}(-\text{0,5})^k\right)u(k)$

da cui

$y(0)=-1,1+1,1=0,$

$y(1)=\text{1,66}-\text{1,1}+\text{1,1}(-\text{0,55})=\text{0,01} \quad \text{e}\quad y(2)=\text{1,66}\cdot 2-\text{1,1}+\text{1,1}(\text{0,5})^2$

e

$y(2)=\text{1,66}\cdot 2-\text{1,1}+\text{1,1}(\text{0,5})^2=\text{4,69}.$