Esercizi svolti stabilità dell’equilibrio di sistemi dinamici non lineari

Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari

Home » Esercizi svolti stabilità dell’equilibrio di sistemi dinamici non lineari

Esercizio $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dato il sistema non lineare:

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}_1(t)=x_1(t)+4 x_2(t)\\[7pt] \dot{x}_2(t)=x_1(t)+x^3_2(t)\\[7pt] y(k)=x_2^3(t)+3u(t), \end{cases} \end{equation*}$

studiare la stabilità dei punti di equilibrio.

Svolgimento.

Lo studio del punto di equilibrio può essere condotto utilizzando il criterio ridotto di Lyapunov, partendo dalla matrice $A$ del modello linearizzato già calcolato nell’esercizio 1 della cartella chiamata “linearizzazione dei sistemi dinamici”:

(2) $\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} -1 & 4\\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \end{equation*}$

i cui autovalori $\lambda_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \text{1,93}j$ hanno parte reale negativa, pertanto il sistema è stabile.

In alternativa, è possibile utilizzare il criterio diretto di Lyapunov. Partendo da una funzione localmente definita positiva $V(x)$ , si valuta la sua derivata lungo la traiettoria del sistema:

(3) $\begin{equation*} \dot{V}(x(t)) = \frac{d V(x)}{d x} \dot{x}(t), \end{equation*}$

dove $\dot{x}(t)$ può essere sostituito con le equazioni del sistema. Scegliendo $V(x) = x_1^2 + a x_2^2$ con $a \in \mathbb{R}^+$ in modo che $V(x)$ sia definita positiva su $\mathbb{R}^2$ e illimitata, si ottiene:

(4) $\begin{equation*} \dot{V}(x) = \begin{pmatrix} 2x_1 & 2ax_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -x_1 + 4x_2\\ -x_1 - x_2^3 \end{pmatrix} = -2x_1^2 + (8 - 2a)x_1x_2 - 2ax_2^4. \end{equation*}$

Ponendo $a = 4$ , si ottiene:

(5) $\begin{equation*} \dot{V}(x) = -2x_1^2 - 8x_2^4, \end{equation*}$

che è definita negativa in $\mathbb{R}^2$ . Si conclude che $x = 0$ è un punto di equilibrio stabile.

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Considerato il sistema non lineare per $\alpha\in\mathbb{R}$ :

(6) $\begin{equation*} \begin{cases} x_1(k+1)=x_1(k)\left[x_2^2(k)-\alpha\right]+u^2(k)-2\\[8pt] x_2(k+1)=x_1(k)+x_2(k)+\dfrac{1}{4}\left(e^{x_2^2(k)-1}-1\right)\\[8pt] y(k)=x_2^2(k), \end{cases} \end{equation*}$

già analizzato nell’esercizio 2 nella cartella chiamata “linearizzazione dei sistemi dinamici”, si desidera studiare la stabilità dei punti di equilibrio $x_{eq1}$ e $x_{eq2}$ .

Svolgimento.

L’analisi della stabilità di un sistema non lineare può essere condotta intorno ai punti di equilibrio utilizzando i criteri di Lyapunov. Per l’applicazione del criterio ridotto di Lyapunov, è necessario ricavare le matrici della dinamica linearizzata intorno al punto di equilibrio considerato. Tali matrici sono già state introdotte nell’esercizio menzionato e sono date da:

(7) $\begin{equation*} A_1 = \begin{pmatrix} 1-\alpha & 0\\[7pt] 1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad \begin{pmatrix} 1-\alpha & 0\\[7pt] 1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{equation*}$

La matrice $A_1$ è triangolare inferiore, pertanto presenta gli autovalori $(1-\alpha)$ e $\frac{3}{2}$ . Poiché esiste un autovalore $\frac{3}{2}$ con modulo maggiore di $1$ , il punto di equilibrio è instabile indipendentemente dal valore di $\alpha$ .

Per quanto riguarda il secondo punto di equilibrio, gli autovalori sono $\frac{1}{2}<1$ e $(1-\alpha)$ , che vanno discussi come segue:

se $|1-\alpha|<1 \iff 0<\alpha<2$ , il punto di equilibrio è asintoticamente stabile;
se $\alpha<0 \cup \alpha>2$ , il punto di equilibrio è instabile;
se $\alpha=0$ o se $\alpha=2$ , non è possibile trarre conclusioni utilizzando il criterio ridotto.