Esercizi svolti sintesi dell’osservatore asintotico dello stato

Sintesi dell'osservatore asintotico dello stato

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Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dato il sistema

(1) $\begin{align*} x(k+1)&=\begin{pmatrix} 2&2&-2\\0&-1&1\\2&0&0 \end{pmatrix}x(k)+\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}u(k)\\[5pt] \qquad y(k)&=\begin{pmatrix} 1&0&1 \end{pmatrix}x(k). \end{align*}$

Portare il sistema nella forma di osservabilità e valutare la possibilità di sintetizzare un osservatore asintotico.

Svolgimento.

La matrice di osservabilità del sistema, definita come

(2) $\begin{equation*} M_D = \begin{pmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}, \end{equation*}$

presenta un rango pari a $2$ . Il suo nucleo è generato dal vettore

(3) $\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \end{equation*}$

che rappresenta una base per lo spazio inosservabile. Completiamo questa base con due colonne linearmente indipendenti che rappresentano una base dello spazio osservabile, ottenendo la matrice di trasformazione $T$ :

(4) $\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \end{equation*}$

e la sua matrice inversa:

(5) $\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Applichiamo le seguenti trasformazioni al sistema:

(6) $\begin{align*} \hat{A} &= T^{-1}AT, \\ \hat{B} &= T^{-1}B, \\ \hat{C} &= CT, \end{align*}$

per riformulare il sistema in termini di osservabilità:

(7) $\begin{equation*} \hat{x}(k+1) = \begin{pmatrix} 0 & 2 & \vline & 0 \\ -1 & 1 & \vline & 0 \\ \hline -2 & 2 & \vline & 0 \end{pmatrix} \hat{x}(k) + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Le matrici

(8) $\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad B_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{equation*}$

corrispondono al sottospazio osservabile.

Il sistema presenta un autovalore non osservabile $\lambda = 0$ che è stabile, rendendo possibile la costruzione di un osservatore asintotico.

L’uscita osservata del sistema è espressa da

(9) $\begin{equation*} \hat{y}(k) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \hat{x}(k) \quad \text{con} \quad C_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}. \end{equation*}$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Consideriamo il sistema a tempo continuo descritto dalle seguenti equazioni:

$\begin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \\ y(t) = Cx(t) \end{cases}$

dove le matrici sono definite come segue

$A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},$

dove $x(t)$ rappresenta il vettore delle variabili di stato, $u(t)$ è la variabile di ingresso, e $y(t)$ è l’uscita del sistema. L’obiettivo è verificare se è possibile progettare un osservatore di stato. In caso affermativo, dovremo scegliere una terna di autovalori per la dinamica dell’errore dell’osservatore e trovare la matrice dei guadagni $L$ che assegni la dinamica desiderata all’osservatore.

Svolgimento.

Per progettare un osservatore asintotico dello stato, è necessario che la matrice di osservabilità abbia rango pieno, oppure che eventuali autovalori non osservabili siano asintoticamente stabili. La matrice di osservabilità è definita come segue:

$M_O = \begin{pmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & -4 & -4 \end{pmatrix}.$

Il rango di $M_O$ è pari a $3$ , il che significa che il sistema è completamente osservabile. Di conseguenza, possiamo scegliere liberamente la dinamica dell’errore per la stima di tutte le variabili di stato. Per la dinamica degli errori, scegliamo gli autovalori $-1$ , $-1$ e $-1$ .

Per determinare il vettore delle costanti $L$ che assegna questa dinamica agli autovalori, utilizziamo la formula di Ackerman:

$L = p(A)q,$

dove $p(A)$ rappresenta la matrice ottenuta sostituendo la matrice $A$ al posto del parametro $\lambda$ nel polinomio desiderato $p(\lambda)$ , e $q$ è l’ultima colonna dell’inversa della matrice di osservabilità.

Considerando gli autovalori desiderati per la dinamica degli errori, il polinomio desiderato assume la forma:

$p(\lambda) = (\lambda + 1)^3 = \lambda^3 + 3\lambda^2 + 3\lambda + 1.$

Al posto di $\lambda$ occorre sostituire la matrice $A$ . Pertanto abbiamo

$p(A)=A^3+3A^2+3I,$

dove

$A^3=\begin{pmatrix} 0& 0&-16\\ 0&-1&0\\ 0&13&64 \end{pmatrix},$

$A^2=\begin{pmatrix} 0& -4&-4\\ 0&1&0\\ 0&3&16 \end{pmatrix},$

$I= \begin{pmatrix} 1& 0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix},$

da cui, svolgendo i calcoli, si ottiene

$p(A)=\begin{pmatrix} 1& -3&-31\\\ 0&0&0\\ 0&25&125 \end{pmatrix}.$

Occorre determinare la matrice inversi di osservabilità, cioè

$M_O^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\[10pt] 0&\dfrac{1}{4}&-\dfrac{5}{8}\\[10pt] 0&-\dfrac{1}{4}&-\dfrac{3}{16} \end{pmatrix}.$

Occorre considerare l’ultima colonna che coincide con $q$ nella formula di Ackerman. Pertanto

$L=\begin{pmatrix} 1& -3&-31\\\ 0&0&0\\ 0&25&125 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\[10pt] -\dfrac{5}{8}\\[10pt] -\dfrac{3}{16} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\ 0\\ -25 \end{pmatrix}.$

La correttezza del risultato la si può verificare determinando gli autovalori della matrice dinamica dell’osservatore, cioè

$A-LC.$

Imponendo

$\det[\left( A-LC\right)-\lambda I]=0,$

si trovano $3$ autovalori coincidenti in $-1$ , come desiderato.

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