Accedi ai contenuti scaricabili
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizi svolti modellistica dei sistemi dinamici meccanici, elettrici

Modellistica dei sistemi dinamici meccanici, elettrici

Home » Esercizi svolti modellistica dei sistemi dinamici meccanici, elettrici

 

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Si esamini il sistema dinamico illustrato nella figura, composto da due masse, m_1 e m_2, in movimento su un piano orizzontale. Queste masse sono connesse da molle, le cui costanti di elasticità sono specificate. Al sistema è applicata una forza esterna variabile nel tempo, denotata con \bm{F}(t). Si richiede di formulare una rappresentazione in forma di stato del sistema, scegliendo come variabile di uscita la posizione della massa m_2.

 
 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 1.

 
 

Svolgimento.

Le forze generate dalle molle in trazione sono direttamente proporzionali agli spostamenti. Applicando la seconda legge di Newton alle masse del sistema, otteniamo l’equilibrio come segue: Per la massa 1:

\begin{equation*} m_1 \ddot{x}_1 = -k_1 x_1 + k_2 (x_2 - x_1), \end{equation*}

e per la massa 2:

\begin{equation*} m_2 \ddot{x}_2 = -k_2 (x_2 - x_1) + F. \end{equation*}

Per riformulare il sistema nella forma ISU, definiamo:

\begin{align*} x_A &= x_1, & x_C &= x_2,\\ x_B &= \dot{x}_1, & x_D &= \dot{x}_2, \end{align*}

così che la dinamica di ciascuna massa diventa:

\begin{equation*} m_1 \dot{x}_B = -k_1 x_A + k_2 (x_C - x_A), \end{equation*}

\begin{equation*} m_2 \dot{x}_D = -k_2 (x_C - x_A) + F. \end{equation*}

Di conseguenza, il sistema in forma ISU è descritto da:

\begin{align*} \dot{x}_A &= x_B,\\ \dot{x}_B &= -\frac{k_1}{m_1}x_A + \frac{k_2}{m_1}(x_C - x_A),\\ \dot{x}_C &= x_D,\\ \dot{x}_D &= -\frac{k_2}{m_2}(x_C - x_A) + \frac{F}{m_2},\\ y &= x_2, \end{align*}

che può essere ulteriormente espresso in forma matriciale per una rappresentazione compatta. Abbiamo dunque

\begin{align*} \begin{pmatrix} x_A\\ x_B\\ x_C\\ x_D \end{pmatrix}&=\underbrace{\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ \left(-\dfrac{k_1}{m_1}+\dfrac{k_2}{m_1}\right)&0&\dfrac{k_2}{m_1}&0\\ 0&0&0&1\\ -\dfrac{k_2}{m_2}&0&-\dfrac{k_2}{m_2}&0 \end{pmatrix}}_{A}+\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\ \dfrac{1}{m_2} \end{pmatrix}F\\[10pt] y&=\underbrace{\left(0\quad0\quad1\quad0\right)}_{C}\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix}. \end{align*}

Essendo U=F e la matrice D=0.

 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Consideriamo un sistema dinamico illustrato nella figura, composto da una massa M che si muove su un piano verticale. Questa massa è sottoposta a diverse forze: la forza gravitazionale, una forza elastica proporzionale al coefficiente k, una forza di attrito viscoso proporzionale al coefficiente B, e infine una forza esterna variabile nel tempo f(t). Si richiede di derivare una rappresentazione in forma di stato per il sistema, selezionando come variabile di uscita la posizione x(t) della massa.

 
 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 2.

 
 

Svolgimento.

Considerando x come la posizione verticale della massa, il bilancio delle forze che agiscono sul sistema può essere espresso come segue:

\begin{align*} &M\ddot{x} = P - F_{el} - F_A + f(t),\\ &M\ddot{x} = Mg - kx - B\dot{x} + u. \end{align*}

Introducendo le seguenti variabili di stato:

\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = x,\\ x_2 = \dot{x}, \end{cases} \end{equation*}

la dinamica del sistema può essere riformulata in termini matriciali:

\begin{align*} &\begin{pmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[10pt] - \dfrac{k}{M} & -\dfrac{B}{M} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\[10pt] \dfrac{1}{M} \end{pmatrix}u+\begin{pmatrix} 0\\[10pt] g \end{pmatrix},\\ &y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}. \end{align*}

In termini di un sistema di Input-State-Output (ISU), abbiamo:

\begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2,\\ \dot{x}_2 = - \dfrac{k}{M}x_1 - \dfrac{B}{M}x_2 + \dfrac{1}{M}u+g, \end{cases} \end{equation*}

con l’uscita y = x_1, che rappresenta la posizione verticale della massa.

 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Consideriamo il sistema dinamico illustrato nella figura, il quale è costituito da una rete elettrica lineare. Un generatore di corrente, indicato con I, funge da ingresso del sistema, denotato con u(t). Definendo la tensione sulla resistenza come uscita del sistema, ossia y(t), si richiede di determinare la rappresentazione in forma di stato del sistema. Questa rappresentazione deve essere espressa in termini parametrici e deve essere coerente con le seguenti variabili di stato: x_1(t) = I_L e x_2(t) = V_c.

 
 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 3.

 
 

Svolgimento.

Consideriamo il bilancio delle correnti in un circuito, dato da:

\begin{equation*} I_s = I_R + I_L + I_C, \end{equation*}

dove la corrente attraverso il condensatore è rappresentata da:

\begin{equation*} C\dot{v}_c(t) = I_C(t). \end{equation*}

Pertanto, riformulando il bilancio delle correnti, otteniamo:

\begin{equation*} C\dot{v}_c(t) = I_s - I_R = I_L, \end{equation*}

che ci porta alla seguente espressione:

\begin{equation*} \dot{v}_C(t) = -\frac{v_C(t)}{RC} - \frac{1}{C}I_L(t) + \frac{1}{C}I_s(t). \end{equation*}

Inoltre, possiamo esprimere la tensione come segue:

\begin{align*} &L\dot{I}_L(t) = v_L(t) = v_C(t),\\ &\dot{I}_L(t) = \frac{v_C(t)}{L}. \end{align*}

Definendo le variabili di stato:

\begin{align*} &x_1(t) ={I}_L(t),\\ &x_2(t) = v_C(t),\\ &y = \frac{v_C}{R} = \frac{x_2}{R}, \quad u(t) = I_s(t), \end{align*}

otteniamo il seguente sistema in forma di input-state-output (ISU):

\begin{align*} \begin{cases} \dot{x_1}(t)=\dfrac{1}{L}x_2(t)\\[10pt] \dot{x_2}(t)=-\dfrac{1}{C}x_1(t)-\dfrac{1}{RC}x_2(t)+\dfrac{1}{C}u(t)\\[10pt] y(t)=\dfrac{x_2(t)}{R}. \end{cases} \end{align*}

Il sistema in forma matriciale è:

\begin{align*} &\begin{pmatrix} \dot{x_1}(t)\\ \dot{x_2}(t) \end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix} 0&\dfrac{1}{L}\\[10pt] -\dfrac{1}{C}&-\dfrac{1}{RC} \end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix} x_1(t)\\ x_2(t) \end{pmatrix}+\underbrace{\begin{pmatrix} 0\\[10pt] \dfrac{1}{C} \end{pmatrix}}_{B}u(t)\\ &y(t)=\underbrace{\begin{pmatrix} 0&\dfrac{1}{R} \end{pmatrix}}_{C}\begin{pmatrix} x_1(t)&x_2(t) \end{pmatrix}\\ &D=0. \end{align*}

 

 

Tutte le cartelle di controlli automatici

Leggi...

  1. Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
  2. Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
  3. Linearizzazione di sistemi dinamici
  4. Analisi della Stabilità dei Sistemi LTI
  5. Stabilità dell’equilibrio di sistemi dinamici non lineari
  6. Retroazione statica dallo stato
  7. Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
  8. Trasformata Zeta
  9. La risposta in frequenza
  10. Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
  11. La carta di Nichols
  12. Proprietà della risposta allo scalino
  13. Schemi a blocchi e loro combinazioni
  14. I diagrammi di Bode
  15. I diagrammi di Nyquist
  16. Il progetto del controllore
  17. Il luogo delle radici
  18. Stabilità in condizioni perturbate: i margini
  19. I regolatori PID
  20. Le reti compensatrici
  21. Modellistica dei sistemi dinamici meccanici, elettrici
  22. Proprietà strutturali dei sistemi
  23. Sintesi del modello di stato ISU
  24. Sintesi dell’osservatore asintotico dello stato






Document