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Esercizi svolti modellistica dei sistemi dinamici meccanici, elettrici

Modellistica dei sistemi dinamici meccanici, elettrici

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Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Si esamini il sistema dinamico illustrato nella figura, composto da due masse, m_1 e m_2, in movimento su un piano orizzontale. Queste masse sono connesse da molle, le cui costanti di elasticità sono specificate. Al sistema è applicata una forza esterna variabile nel tempo, denotata con \bm{F}(t). Si richiede di formulare una rappresentazione in forma di stato del sistema, scegliendo come variabile di uscita la posizione della massa m_2.

 
 

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Figura 1.

 
 

Svolgimento.

Le forze generate dalle molle in trazione sono direttamente proporzionali agli spostamenti. Applicando la seconda legge di Newton alle masse del sistema, otteniamo l’equilibrio come segue: Per la massa 1:

(1)   \begin{equation*} m_1 \ddot{x}_1 = -k_1 x_1 + k_2 (x_2 - x_1), \end{equation*}

e per la massa 2:

(2)   \begin{equation*} m_2 \ddot{x}_2 = -k_2 (x_2 - x_1) + F. \end{equation*}

Per riformulare il sistema nella forma ISU, definiamo:

(3)   \begin{align*} x_A &= x_1, & x_C &= x_2,\\ x_B &= \dot{x}_1, & x_D &= \dot{x}_2, \end{align*}

così che la dinamica di ciascuna massa diventa:

(4)   \begin{equation*} m_1 \dot{x}_B = -k_1 x_A + k_2 (x_C - x_A), \end{equation*}

(5)   \begin{equation*} m_2 \dot{x}_D = -k_2 (x_C - x_A) + F. \end{equation*}

Di conseguenza, il sistema in forma ISU è descritto da:

(6)   \begin{align*} \dot{x}_A &= x_B,\\ \dot{x}_B &= -\frac{k_1}{m_1}x_A + \frac{k_2}{m_1}(x_C - x_A),\\ \dot{x}_C &= x_D,\\ \dot{x}_D &= -\frac{k_2}{m_2}(x_C - x_A) + \frac{F}{m_2},\\ y &= x_2, \end{align*}

che può essere ulteriormente espresso in forma matriciale per una rappresentazione compatta. Abbiamo dunque

(7)   \begin{align*} \begin{pmatrix} x_A\\ x_B\\ x_C\\ x_D \end{pmatrix}&=\underbrace{\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ \left(-\dfrac{k_1}{m_1}+\dfrac{k_2}{m_1}\right)&0&\dfrac{k_2}{m_1}&0\\ 0&0&0&1\\ -\dfrac{k_2}{m_2}&0&-\dfrac{k_2}{m_2}&0 \end{pmatrix}}_{A}+\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\ \dfrac{1}{m_2} \end{pmatrix}F\\[10pt] y&=\underbrace{\left(0\quad0\quad1\quad0\right)}_{C}\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix}. \end{align*}

Essendo U=F e la matrice D=0.

 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Consideriamo un sistema dinamico illustrato nella figura, composto da una massa M che si muove su un piano verticale. Questa massa è sottoposta a diverse forze: la forza gravitazionale, una forza elastica proporzionale al coefficiente k, una forza di attrito viscoso proporzionale al coefficiente B, e infine una forza esterna variabile nel tempo f(t). Si richiede di derivare una rappresentazione in forma di stato per il sistema, selezionando come variabile di uscita la posizione x(t) della massa.

 
 

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Figura 2.

 
 

Svolgimento.

Considerando x come la posizione verticale della massa, il bilancio delle forze che agiscono sul sistema può essere espresso come segue:

(8)   \begin{align*} &M\ddot{x} = P - F_{el} - F_A + f(t),\\ &M\ddot{x} = Mg - kx - B\dot{x} + u. \end{align*}

Introducendo le seguenti variabili di stato:

(9)   \begin{equation*} \begin{cases} x_1 = x,\\ x_2 = \dot{x}, \end{cases} \end{equation*}

la dinamica del sistema può essere riformulata in termini matriciali:

(10)   \begin{align*} &\begin{pmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[10pt] - \dfrac{k}{M} & -\dfrac{B}{M} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\[10pt] \dfrac{1}{M} \end{pmatrix}u+\begin{pmatrix} 0\\[10pt] g \end{pmatrix},\\ &y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}. \end{align*}

In termini di un sistema di Input-State-Output (ISU), abbiamo:

(11)   \begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2,\\ \dot{x}_2 = - \dfrac{k}{M}x_1 - \dfrac{B}{M}x_2 + \dfrac{1}{M}u+g, \end{cases} \end{equation*}

con l’uscita y = x_1, che rappresenta la posizione verticale della massa.

 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Consideriamo il sistema dinamico illustrato nella figura, il quale è costituito da una rete elettrica lineare. Un generatore di corrente, indicato con I, funge da ingresso del sistema, denotato con u(t). Definendo la tensione sulla resistenza come uscita del sistema, ossia y(t), si richiede di determinare la rappresentazione in forma di stato del sistema. Questa rappresentazione deve essere espressa in termini parametrici e deve essere coerente con le seguenti variabili di stato: x_1(t) = I_L e x_2(t) = V_c.

 
 

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Figura 3.

 
 

Svolgimento.

Consideriamo il bilancio delle correnti in un circuito, dato da:

(12)   \begin{equation*} I_s = I_R + I_L + I_C, \end{equation*}

dove la corrente attraverso il condensatore è rappresentata da:

(13)   \begin{equation*} C\dot{v}_c(t) = I_C(t). \end{equation*}

Pertanto, riformulando il bilancio delle correnti, otteniamo:

(14)   \begin{equation*} C\dot{v}_c(t) = I_s - I_R = I_L, \end{equation*}

che ci porta alla seguente espressione:

(15)   \begin{equation*} \dot{v}_C(t) = -\frac{v_C(t)}{RC} - \frac{1}{C}I_L(t) + \frac{1}{C}I_s(t). \end{equation*}

Inoltre, possiamo esprimere la tensione come segue:

(16)   \begin{align*} &L\dot{I}_L(t) = v_L(t) = v_C(t),\\ &\dot{I}_L(t) = \frac{v_C(t)}{L}. \end{align*}

Definendo le variabili di stato:

(17)   \begin{align*} &x_1(t) ={I}_L(t),\\ &x_2(t) = v_C(t),\\ &y = \frac{v_C}{R} = \frac{x_2}{R}, \quad u(t) = I_s(t), \end{align*}

otteniamo il seguente sistema in forma di input-state-output (ISU):

(18)   \begin{align*} \begin{cases} \dot{x_1}(t)=\dfrac{1}{L}x_2(t)\\[10pt] \dot{x_2}(t)=-\dfrac{1}{C}x_1(t)-\dfrac{1}{RC}x_2(t)+\dfrac{1}{C}u(t)\\[10pt] y(t)=\dfrac{x_2(t)}{R}. \end{cases} \end{align*}

Il sistema in forma matriciale è:

(19)   \begin{align*} &\begin{pmatrix} \dot{x_1}(t)\\ \dot{x_2}(t) \end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix} 0&\dfrac{1}{L}\\[10pt] -\dfrac{1}{C}&-\dfrac{1}{RC} \end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix} x_1(t)\\ x_2(t) \end{pmatrix}+\underbrace{\begin{pmatrix} 0\\[10pt] \dfrac{1}{C} \end{pmatrix}}_{B}u(t)\\ &y(t)=\underbrace{\begin{pmatrix} 0&\dfrac{1}{R} \end{pmatrix}}_{C}\begin{pmatrix} x_1(t)&x_2(t) \end{pmatrix}\\ &D=0. \end{align*}

 

 

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