Esercizi svolti linearizzazione di sistemi dinamici

Home » Esercizi svolti linearizzazione di sistemi dinamici

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dato il sistema non lineare:

$\begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}_1(t)=-x_1(t)+4x_2(t)\\ \dot{x}_2(t)=-x_1(t)-x_2^3(t)\\ y(t)=x_2^3(t)+3u(t). \end{cases} \end{equation*}$

Trovare il sistema linearizzato intorno ai punti di equilibrio reale.

Svolgimento.

Per linearizzare il sistema, dobbiamo prima trovare il punto di equilibrio, già calcolato nell’esercizio 1 della cartella equilibrio dei sistemi dinamici.

$\begin{equation*} x_{eq}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix};\quad y=3. \end{equation*}$

Successivamente, troviamo le matrici del sistema linearizzato:

$\begin{align*} A&=\frac{\partial f}{\partial x}=\begin{pmatrix} -1&4\\-1&3x_2^2 \end{pmatrix},\quad B=\frac{\partial f}{\partial u}=0\\ C&=\frac{\partial g}{\partial u}=\begin{pmatrix} 0&3x_2^2 \end{pmatrix},\quad D=3. \end{align*}$

Valutiamo ora le matrici nell’unico punto di equilibrio:

$\begin{align*} A&=\frac{\partial f}{\partial x}=\begin{pmatrix} -1&4\\-1&0 \end{pmatrix},\quad B=\frac{\partial f}{\partial u}=0\\ C&=\frac{\partial g}{\partial u}=\begin{pmatrix} 0&0 \end{pmatrix},\quad D=3. \end{align*}$

Quindi, il sistema linearizzato è

$\begin{equation*} \begin{cases} \dot{\partial x}_1(t)=-\partial x_1(t)+4\partial x_2(t)\\ \dot{\partial x}_2(t)=-\partial x_1(t)\\ \partial y(t)=3\partial u(t). \end{cases} \end{equation*}$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dato il sistema non lineare:

$\begin{equation*} \begin{cases} x_1(k+1)=x_1(k)\left[x_2^2(k)-\alpha\right]+u^2(k)-2\\[10pt] x_2(k+1)=x_1(k)+x_2(k)+\dfrac{1}{4}\left(e^{x_2^2(k)-1}-1\right)\\[10pt] y(k)=x_2^2(k), \end{cases} \end{equation*}$

con $\alpha\in\mathbb{R}$ . Trovare la rappresentazione linearizzata intorno ai due punti di equilibrio con $u=1$ .

Svolgimento.

Il sistema non lineare assegnato è nella forma

$\begin{equation*} \begin{cases} x=f(x,u)\\ y=g(x,u). \end{cases} \end{equation*}$

Per poterlo linearizzare, occorre innanzitutto trovare i punti di equilibrio, che sono stati già individuati nell’esercizio 3 della relativa sezione.

Successivamente, deriviamo le matrici $A,\,B,\,C,\,D$ del sistema linearizzato come segue:

$\begin{align*} A&=\dfrac{\partial f}{\partial x}=\begin{pmatrix} x_2^2-\alpha&2x_1 x_2\\[10pt]1&1+\dfrac{1}{2}x_2 e^{x_2^2-1} \end{pmatrix};\\[10pt] B&=\dfrac{\partial f}{\partial u}=\begin{pmatrix} 2u\\0 \end{pmatrix};\\[10pt] C&=\dfrac{\partial g}{\partial x}=\begin{pmatrix} 0&2x_2 \end{pmatrix}. \end{align*}$

Successivamente, scriviamo i sistemi linearizzati intorno ai $4$ punti di equilibrio.

Per il primo punto di equilibrio:

$x_{1eq} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},$

si ha

$\begin{align*} \tilde{x}(k+1)&=\begin{pmatrix} 1-\alpha&0\\[8pt]1&\dfrac{3}{2} \end{pmatrix}\tilde{x}(k)+\begin{pmatrix} 2\sqrt{2}\\0 \end{pmatrix}\tilde{u}(k)\\ y(k)&=1. \end{align*}$

Per il secondo punto di equilibrio:

$x_{1eq} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix},$

si ottiene

$\begin{align*} \tilde{x}(k+1)&=\begin{pmatrix} 1-\alpha&0\\[8pt]1&\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\tilde{x}(k)+\begin{pmatrix} 2\sqrt{2}\\0 \end{pmatrix}\tilde{u}(k). \end{align*}$

Tutte le cartelle di controlli automatici

Leggi...

Document

Menu

Chiudi

Esercizi svolti linearizzazione di sistemi dinamici

Svolgimento.

Svolgimento.

Tutte le cartelle di controlli automatici

Leggi...

Suggerimenti, refusi ed errori

Cosa dicono di noi