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Esercizi svolti linearizzazione di sistemi dinamici

Linearizzazione di sistemi dinamici

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Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dato il sistema non lineare:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}_1(t)=-x_1(t)+4x_2(t)\\ \dot{x}_2(t)=-x_1(t)-x_2^3(t)\\ y(t)=x_2^3(t)+3u(t). \end{cases} \end{equation*}

Trovare il sistema linearizzato intorno ai punti di equilibrio reale.

Svolgimento.

Per linearizzare il sistema, dobbiamo prima trovare il punto di equilibrio, già calcolato nell’esercizio 1 della cartella equilibrio dei sistemi dinamici.

(2)   \begin{equation*} x_{eq}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix};\quad y=3. \end{equation*}

Successivamente, troviamo le matrici del sistema linearizzato:

(3)   \begin{align*} A&=\frac{\partial f}{\partial x}=\begin{pmatrix} -1&4\\-1&3x_2^2 \end{pmatrix},\quad B=\frac{\partial f}{\partial u}=0\\ C&=\frac{\partial g}{\partial u}=\begin{pmatrix} 0&3x_2^2 \end{pmatrix},\quad D=3. \end{align*}

Valutiamo ora le matrici nell’unico punto di equilibrio:

(4)   \begin{align*} A&=\frac{\partial f}{\partial x}=\begin{pmatrix} -1&4\\-1&0 \end{pmatrix},\quad B=\frac{\partial f}{\partial u}=0\\ C&=\frac{\partial g}{\partial u}=\begin{pmatrix} 0&0 \end{pmatrix},\quad D=3. \end{align*}

Quindi, il sistema linearizzato è

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} \dot{\partial x}_1(t)=-\partial x_1(t)+4\partial x_2(t)\\ \dot{\partial x}_2(t)=-\partial x_1(t)\\ \partial y(t)=3\partial u(t). \end{cases} \end{equation*}

 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dato il sistema non lineare:

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} x_1(k+1)=x_1(k)\left[x_2^2(k)-\alpha\right]+u^2(k)-2\\[10pt] x_2(k+1)=x_1(k)+x_2(k)+\dfrac{1}{4}\left(e^{x_2^2(k)-1}-1\right)\\[10pt] y(k)=x_2^2(k), \end{cases} \end{equation*}

con \alpha\in\mathbb{R}. Trovare la rappresentazione linearizzata intorno ai due punti di equilibrio con u=1.

Svolgimento.

Il sistema non lineare assegnato è nella forma

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} x=f(x,u)\\ y=g(x,u). \end{cases} \end{equation*}

Per poterlo linearizzare, occorre innanzitutto trovare i punti di equilibrio, che sono stati già individuati nell’esercizio 3 della relativa sezione.

Successivamente, deriviamo le matrici A,\,B,\,C,\,D del sistema linearizzato come segue:

(8)   \begin{align*} A&=\dfrac{\partial f}{\partial x}=\begin{pmatrix} x_2^2-\alpha&2x_1 x_2\\[10pt]1&1+\dfrac{1}{2}x_2 e^{x_2^2-1} \end{pmatrix};\\[10pt] B&=\dfrac{\partial f}{\partial u}=\begin{pmatrix} 2u\\0 \end{pmatrix};\\[10pt] C&=\dfrac{\partial g}{\partial x}=\begin{pmatrix} 0&2x_2 \end{pmatrix}. \end{align*}

Successivamente, scriviamo i sistemi linearizzati intorno ai 4 punti di equilibrio.

Per il primo punto di equilibrio:

    \[ x_{1eq} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \]

si ha

(9)   \begin{align*} \tilde{x}(k+1)&=\begin{pmatrix} 1-\alpha&0\\[8pt]1&\dfrac{3}{2} \end{pmatrix}\tilde{x}(k)+\begin{pmatrix} 2\sqrt{2}\\0 \end{pmatrix}\tilde{u}(k)\\ y(k)&=1. \end{align*}

Per il secondo punto di equilibrio:

    \[ x_{1eq} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \]

si ottiene

(10)   \begin{align*} \tilde{x}(k+1)&=\begin{pmatrix} 1-\alpha&0\\[8pt]1&\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\tilde{x}(k)+\begin{pmatrix} 2\sqrt{2}\\0 \end{pmatrix}\tilde{u}(k). \end{align*}

 

 

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