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Esercizi svolti risposta in frequenza

La risposta in frequenza

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Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dato un sistema descritto dalla funzione di trasferimento

(1)   \begin{equation*} G(s)=\dfrac{2}{s^2+4} \end{equation*}

a cui è applicato un segnale

(2)   \begin{equation*} u(t)=3\sin(2t+\text{0,3}), \end{equation*}

trovare,se esiste, l’uscita permanente sinusoidale.

Svolgimento.

Secondo il teorema della risposta armonica, è possibile calcolare la risposta in regime permanente sinusoidale mediante l’equazione:

(3)   \begin{equation*} Y(s) = 3|G(j2)|\sin\left(2t + \text{0,3} + \angle T\left(j2\right)\right). \end{equation*}

Tuttavia, T(j2) risulta non definito poiché il suo denominatore si annulla. Questo fenomeno è noto come risonanza: il sistema viene stimolato a una frequenza di pulsazione che corrisponde alla sua frequenza naturale, rendendo impossibile l’esistenza di un regime permanente.

 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dato un sistema descritto dalla funzione di trasferimento

(4)   \begin{equation*} G(s)=-\dfrac{3}{s(s+1)} \end{equation*}

a cui è applicato un segnale

(5)   \begin{equation*} u(t)=2\sin(2t), \end{equation*}

trovare l’andamento temporale dell’uscita.

Svolgimento.

Il teorema della risposta armonica stabilisce che, se la funzione di trasferimento è asintoticamente stabile, allora esiste una risposta in regime permanente sinusoidale. Dato che G(s) è stabile, alla risposta sinusoidale si deve aggiungere un termine costante. Questo termine costante si determina tramite lo sviluppo in fratti semplici.

Consideriamo la trasformata di Laplace dell’ingresso:

(6)   \begin{equation*} U(s) = \mathcal{L}\left[\sin(2t)\right] = \frac{2}{s^2 + 4}. \end{equation*}

Di conseguenza, la trasformata di Laplace dell’uscita è:

(7)   \begin{equation*} Y(s) = G(s)U(s) = -\frac{6}{s(s + 1)(s^2 + 4)}. \end{equation*}

Lo sviluppo in fratti semplici dell’uscita ci permette di riscriverla come:

(8)   \begin{equation*} Y(s) = \frac{A}{s} + \{\text{transitorio}\} + \{\text{risposta armonica}\}. \end{equation*}

Per trovare il valore di A, procediamo con:

(9)   \begin{equation*} A = sY(0) = -\frac{3}{2}. \end{equation*}

Pertanto, la forma dell’uscita in regime permanente sarà:

(10)   \begin{equation*} y(t) = \mathcal{L}^{-1}\left[-\frac{3}{2s}\right] + 2|G(j2)|\sin(2t + \angle G(j2)) = -\frac{3}{2} + 2 \cdot \text{0,67}\sin(2t + \text{0,46}). \end{equation*}

 

 

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