Esercizi svolti regolatori PID

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Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dato lo schema di controllo in figura:

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dove:

$\begin{equation*} G(s)=\text{0,1}\dfrac{e^{-3s}}{\left(1+5s\right)\left(1+20s\right)}. \end{equation*}$

Si vuole progettare il regolatore $R(s)$ di tipo PID in modo tale che:

$e_{\infty}=0$ per $y^o(t)=sca(t)$ ;
$\phi_m\ge 40^o$ ;
$\omega_\tau$ sia la massima possibile.

Svolgimento.

Affinché l’errore a regime sia nullo, occorre che nel prodotto regolatore del processo ci sia un polo in zero, poiché manca nel processo. È necessaria un’azione integrale nel regolatore. Il regolatore PID può essere espresso in due forme alternative:

$\begin{equation*} R(s) = k_p + \frac{k_\tau}{s} + k_s s, \end{equation*}$

o alternativamente,

$\begin{equation*} R(s) = \mu_R \frac{T_i T_d s^2 + T_i s + 1}{s} = \frac{\mu_R(1 + s T_1)(1 + s T_2)}{s}, \end{equation*}$

dove $T_i$ e $T_d$ rappresentano rispettivamente le costanti di tempo integrative e derivative. Una volta selezionata una delle due formulazioni per il regolatore, è necessario aggiungere un polo ad alta frequenza per garantire la realizzabilità fisica del controllore.

Inizialmente, si può considerare che il regolatore implementi esclusivamente un’azione integrale:

$\begin{equation*} R_1(s) = \frac{1}{s}, \end{equation*}$

e procedere alla valutazione del margine di fase della funzione d’anello risultante $L(s) = G(s)R_1(s)$ .

Figura 1: diagramma di Bode della funzione d’anello.

Dopo l’analisi, si osserva un margine di fase di $\phi_m = \text{12,1}^\circ$ , che risulta inferiore al valore desiderato. Pertanto, facendo riferimento alla forma espressa dall’equazione (3), le costanti di tempo degli gli zeri del regolatore vanno scelte in modo che cancellino i poli della $G(s)$ così da migliorare il margine di fase della funzione d’anello. Di conseguenza, la nuova configurazione del sistema diventa:

$\begin{align*} &L(s) = G(s) \cdot R(s) = e^{-3s} \frac{0 \cdot 1 \mu_R}{s}, \\ &\text{dove } R(s) = \mu_R \frac{(1 + 5s)(1 + 20s)}{s}. \end{align*}$

Figura 2: diagramma di Bode della funzione d’anello con l’introduzione del regolatore.

Il margine di fase ottenuto è di $\text{72,8}^\circ$ , il che soddisfa le specifiche richieste. Tuttavia, è necessario valutare il massimo valore del guadagno $\mu_R$ che può essere introdotto senza superare il margine di fase desiderato. La pulsazione critica $\omega^* = \text{0,278}\, \text{rad/sec}$ corrisponde al punto in cui il sistema raggiunge il massimo margine di fase possibile senza infrangere i requisiti specificati, ovvero:

$\begin{equation*} \phi_m = 180^\circ - \angle L(j\omega^*). \end{equation*}$

Per mantenere il guadagno entro i limiti consentiti, $\mu_R$ non deve aumentare oltre gli $8,88\, \text{dB}$ , da cui si ricava:

$\begin{equation*} \mu_R = 10^{\frac{\text{8,88}}{20}} \simeq \text{2,8}. \end{equation*}$

Per assicurare la realizzabilità fisica della funzione di trasferimento del regolatore, si può aggiungere un ulteriore polo a una pulsazione significativamente più alta rispetto a quella dei poli e degli zeri esistenti, ad esempio a $10\, \text{rad/sec}$ . Di conseguenza, la funzione di trasferimento del regolatore assume la forma:

$\begin{equation*} R(s) = \text{2,8}\frac{(1+5s)(1+20s)}{s(1+\text{0,1}s)}. \end{equation*}$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dato il sistema descritto dalla funzione di trasferimento:

$\begin{equation*} P(s)=\dfrac{e^{-\text{0,1}s}}{s+3}. \end{equation*}$

Si progetti un controllore PID tale che assicuri:

errore a regime nullo per un ingresso a scalino;
banda a $3\,dB$ per il sistema ad anello chiuso $Bp=\text{0,6}\,Hz$ ;
sovraelongazione percentuale $s\% <10\%$ .

Svolgimento.

Per soddisfare la specifica sull’errore a regime, è necessaria l’azione integrativa. A partire dalla specifica sulla sovraelongazione, $s\% \le 10$ , si ottiene $\xi \ge \text{0,6}$ , il che implica un margine di fase $\phi_m \ge 60^\circ$ .

Dalla specifica sulla banda passante, utilizzando gli abachi, si hanno le seguenti relazioni:

$\begin{align*} \frac{B_p}{\omega_n}\Bigg\vert_{\xi=\text{0,6}} &= \text{11,5} \implies \omega_n = \text{3,26}\, \text{rad/sec}, \\ \frac{\omega_t}{\omega_n}\Bigg\vert_{\xi=\text{0,6}} &\approx \text{0,71} \implies \omega_t = \text{2,32}\, \text{rad/sec}. \end{align*}$

Valutando le caratteristiche del sistema, si ottiene:

$\begin{align*} \left| P(j\omega_t) \right| &= \frac{1}{\sqrt{9 + \omega_t^2}} = \text{0,26}, \\[10pt] \angle P(j\omega_t) &= -\text{0,1} \omega_t \frac{180}{\pi} - \arctan\left(\frac{\omega_t}{3}\right) = -51^\circ, \\[10pt] \phi_m &= 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ. \end{align*}$

Il margine di fase prima di introdurre l’azione integrale è più di quello desiderato, quindi non occorre azione derivativa, quindi è sufficiente ricavare la costante proporzionale e quella integrativa, come segue:

$K_p = \frac{\cos(60^\circ - 129^\circ)}{|P(j\omega_t)|} = \text{1,38},$

$\frac{1}{\omega_t T_i} = \tan(60^\circ - 129^\circ) \quad \rightarrow \quad T_i = \text{0,16}\, \text{s}.$

Quindi il controllore cercato è:

$R(s) = \text{1,38} \left( 1 + \frac{1}{\text{0,16}s} \right).$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Dato il sistema descritto da

$\begin{equation*} H(s)=\dfrac{30}{s^2+3s+1}. \end{equation*}$

Con la taratura analitica tarare un controllore PID che soddisfi le seguenti specifiche:

errore a gradino nullo;
$s\%\le30$ ;
$t_\text{salita}\le\dfrac{3}{4}$ .

Svolgimento.

Attraverso la taratura analitica, è possibile determinare le costanti per la funzione di trasferimento del PID come segue:

$\begin{align*} k_p &= \frac{\cos(\phi)}{|H(j\omega_t)|}, \\ k_d &= \frac{\sin(\phi)}{\omega_t|H(j\omega_t)|} + \frac{ki}{\omega_t^2}, \end{align*}$

dove $\phi$ rappresenta la fase che il PID deve introdurre alla pulsazione di taglio $\omega_t$ desiderata; $\omega_t$ è la pulsazione di taglio desiderata per la funzione d’anello $H\cdot R$ ; e $\phi$ può assumere valori tali che $-90\le\phi\le90$ . Se il valore di $\phi$ da introdurre è negativo, non è necessaria l’azione derivativa.

Le specifiche vengono tradotte in obiettivi da raggiungere per la funzione ad anello aperto:

$\begin{equation*} s\% \le 30 \to \xi \ge \text{0,37}, \end{equation*}$

scegliendo $\xi=\text{0,4}$ si ottiene $\phi_m=40^\circ$ .

Utilizzando gli abachi, si ottiene:

$\begin{align*} T_s \cdot B_3 \bigg|_{\xi=\text{0,4}} &= 3\quad \Rightarrow\quad B_3 = \frac{3}{3/4} - 4 \,\text{rad/sec}, \\ \frac{B3}{\omega_n} \bigg|_{\xi=\text{0,4}} &\simeq \text{1,4} \quad \Rightarrow\quad \omega_n \simeq \text{2,85} \,\text{rad/sec}, \\ \frac{\omega_t}{\omega_n} \bigg|_{\xi=\text{0,4}} &= \text{0,85}\quad \Rightarrow\quad \omega_t = \text{2,42} \,\text{rad/sec}. \end{align*}$

La specifica sull’errore a regime nullo impone l’uso dell’azione integrale. L’analisi del diagramma di Bode mostra che, in assenza di regolazione, il sistema presenta le seguenti caratteristiche a $\omega_t$ :

$\begin{align*} |H(j\omega_t)| &= \text{3,85}\,\text{dB}, \\ \phi_m &= 180 - | \angle H(j\omega t) | = \text{59,3}. \end{align*}$

Sebbene $\phi_m$ sia maggiore di quello desiderato, l’azione integrale ne risentirebbe comunque. È possibile permettere al regolatore una riduzione di fase di $19.30^\circ$ a $\omega_t$ , impostando $\phi = -\text{19,30}^\circ$ .

Di conseguenza, non occorre l’azione derivativa e le formule diventano:

$\begin{align*} k_d &= 0 = \frac{\sin(-\text{19,3}^\circ)}{\text{2,42} \cdot \text{3,85}} + \frac{k_I}{(\text{2,42})^2}, \\ k_p &= \frac{\cos(-\text{19,3}^\circ)}{\text{3,85}}, \end{align*}$

da cui si ricavano:

$\begin{align*} k_p &= \text{0,244}, \\ k_I &= \text{0,2}. \end{align*}$

Pertanto, la funzione di trasferimento del regolatore desiderato è:

$\begin{equation*} R(s) = k_p + \frac{k_I}{s} = \text{0,244} + \frac{\text{0,2}}{s}. \end{equation*}$

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