Esercizi svolti diagrammi di Nyquist

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Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si tracci il diagramma di Nyquist della funzione

$L(s)=\dfrac{4\left(1+s\right)^2}{s\left(1-s\right)^2}.$

Svolgimento.

Il diagramma di Nyquist può essere agevolmente tratto dal diagramma di Bode, già esaminato nel file numero 4 della cartella ‘I diagrammi di Bode’. Ulteriori dettagli sono disponibili nei documenti successivi.

Figura 1.

Il diagramma di Nyquist è ottenuto tracciando il grafico della funzione $L(j\omega)$ in funzione della variazione della pulsazione. Questa funzione $L$ , variando $\omega$ , descrive un percorso nel piano complesso, dove la distanza di ogni punto del grafico dall’origine rappresenta il modulo di $L$ , la cui evoluzione è rappresentata dal relativo diagramma di Bode così come la fase formata con l’asse reale.

Dall’analisi del diagramma di Bode, si nota che per $\omega \to 0$ , il grafico di Nyquist parte da una distanza infinita dall’origine e con una fase di $-90^\circ$ . Quando il modulo supera $1$ , la fase raggiunge i $180^\circ$ , causando l’intersezione del grafico di Nyquist con l’asse reale negativo. Per $\omega \to \infty$ , il modulo tende a $-\infty$ e la fase a $-90^\circ$ , concludendo il grafico di Nyquist all’origine con fase di $-90^\circ$ . Essendoci un polo in zero, l’ascissa dell’asintoto per $\omega \to 0$ può essere determinata a partire da

(1) $\begin{equation*} L(s) = \frac{L^\prime(s)}{s}. \end{equation*}$

Calcoliamo:

(2) $\begin{equation*} L(0) = \lim_{s \to 0} \frac{dL^\prime(s)}{ds} = \lim_{s \to 0} \frac{16(s + 1)}{1 - s^3} = -16. \end{equation*}$

Questo permette di rappresentare il diagramma di Nyquist nella figura seguente.

Figura 2.

Il diagramma di Nyquist per $\omega < 0$ si ottiene specchiando quello per $\omega > 0$ rispetto all’asse reale. Questo implica che la parte del diagramma per frequenze negative è il riflesso di quella per frequenze positive lungo l’asse orizzontale.

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si tracci il diagramma di Nyquist della funzione

$L(s)=\dfrac{s\left(s+7\right)}{s^2+13s+30}.$

Svolgimento.

Il diagramma di Nyquist può essere facilmente dedotto dal diagramma di Bode, già analizzato nel file numero 2 della cartella “I diagrammi di Bode”.

Figura 3: diagramma di Bode del modulo della funzione assegnata.

Figura 4: diagramma di Bode della fase della funzione assegnata.

Il diagramma di Nyquist traccia il grafico della funzione $L(j\omega)$ al variare della pulsazione. La funzione $L$ , variando $\omega$ , descrive un percorso nel piano complesso, dove la distanza di ogni punto del grafico dall’origine rappresenta il modulo di $L$ , leggibile anche dal diagramma dei moduli di Bode, mentre l’angolo è determinato dalla fase nel diagramma di Bode.

Dall’analisi del diagramma di Bode, si osserva che per $\omega \to 0$ , il grafico di Nyquist parte dall’origine con una fase di $90^\circ$ . La fase nel diagramma di Bode si riduce tendendo a $0^\circ$ quando il modulo raggiunge il valore massimo. Di conseguenza, il grafico di Nyquist interseca l’asse reale positivo in corrispondenza del punto $1+0j$ . Per valori negativi della pulsazione, il grafico di Nyquist è simmetrico rispetto all’asse reale.

Figura 5.

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si tracci il diagramma di Nyquist della funzione

$L(s)=\dfrac{\left(s-1\right)\left(s+10\right)}{s\left(s^2+s+16\right)}.$

Svolgimento.

Il diagramma di Nyquist può essere facilmente derivato dall’analisi del diagramma di Bode, precedentemente esaminato nel file numero 1 della cartella “I diagrammi di Bode”. successivi.

Figura 6: diagramma di Bode del modulo della funzione assegnata.

Figura 7: diagramma di Bode della fase della funzione assegnata.

Il diagramma di Nyquist traccia il grafico della funzione $L(j\omega)$ in funzione della variazione della pulsazione. La funzione $L$ , variando $\omega$ , descrive un percorso nel piano complesso, dove la distanza di ogni punto del grafico dall’origine rappresenta il modulo di $L$ , leggibile anche dal diagramma dei moduli di Bode, mentre l’angolo è determinato dalla fase nel diagramma di Bode.

Dall’analisi del diagramma di Bode, si osserva che per $\omega \to 0$ , il grafico di Nyquist inizia a grande distanza dall’origine e con una fase di $90^\circ$ . La fase nel diagramma di Bode attraversa $0^\circ$ quando il modulo è leggermente superiore a $1$ , quindi il grafico di Nyquist intersecherà l’asse reale positivo.

Tra le pulsazioni $\omega = 2$ , $\omega = 3$ e $\omega = 5$ intervengono i poli complessi e coniugati con un fattore di smorzamento $\xi = \frac{1}{8}$ che producono una rapida riduzione della fase di $-180^{\circ}$ provocando una rapida curva del diagramma. Essendoci un polo in $0$ , possiamo trovare l’ascissa per l’asintoto quando $\omega \to 0$ :

(3) $\begin{equation*} L(s) = \frac{L^\prime(s)}{s}. \end{equation*}$

Calcoliamo:

(4) $\begin{equation*} L(0) = \lim_{s \to 0} \frac{dL^\prime(s)}{ds} = \lim_{s \to 0} \frac{-8s^2 + 52s + 154}{(s^2 + s + 16)^2} \sim \text{0,60}. \end{equation*}$

Questo permette di rappresentare il diagramma di Nyquist nella figura seguente.

Figura 8.

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