la successione definita da
Si definisce numero di Nepero
con .
In generale vale quanto segue: data una successione infinita per
, vale che
(1)
Esercizio 1. Calcolare il seguente limite, applicando (1):
(2)
Svolgimento esercizio 1. Risolviamo (2) applicando (1):
Osserviamo che:
e siccome
per il teorema del confronto [1] si ha
Inoltre osserviamo che
dove
quindi
Torniamo ora al limite e tenendo conto dei risultati ottenuti e applicando (1) si ottiene
Si conclude che:
1 Teorema del confronto. Siano ,
e
successioni in
. Si assuma che
e che
allora
Esercizio 2. Calcolare il seguente limite, applicando (1):
(3)
Svolgimento esercizio 2. Riscriviamo (3) come segue
Osserviamo che
e quindi
Ora notiamo che[2]
e quindi tornando a (3) e applicando (1), tenendo conto dei risultati ottenuti, abbiamo
Si conclude che
2 Si ricordi l’approsimazione di Stirling per
. ↩
Esercizio 3. Calcolare il seguente limite, applicando (1):
(4)
Svolgimento esercizio 3. Risolviamo (4) applicando (1):
Esercizio 4. Calcolare il seguente limite, applicando (1):
(5)
Svolgimento esercizio 4. Risolviamo (5) applicando (1):
Si conclude che:
Esercizio 5. Calcolare il seguente limite, applicando (1):
(6)
Svolgimento esercizio 5. iscriviamo (6) come segue
Ora osserviamo che per
, quindi
Tornando al limite e applicando (1) si ha che
Si conclude che:
Fonte: (clicca qui)