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Limite di successione svolto con il piccolo teorema di Fermat

Esercizi misti Successioni

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Esercizio. Calcolare

\[ \lim_{n\to +\infty} \Bigl\lfloor \cos^{2}\!\left( \pi\,\frac{2^{n}-2}{n} \right) \Bigr\rfloor, \]

dove i simboli \lfloor\ \rfloor indicano la parte intera inferiore.

Svolgimento.

Si osserva che per ogni valore reale x vale 0\le \cos^{2}x\le 1, per cui l’espressione \lfloor \cos^{2}(\cdot) \rfloor può assumere soltanto i valori 0 oppure 1. Si nota che il valore 1 si ottiene esattamente quando l’argomento è un multiplo intero di \pi, cioè quando \pi(2^{n}-2)/n=k\pi con k\in\mathbb{Z}, condizione equivalente a n\mid (2^{n}-2). Tale divisibilità avviene per infiniti indici: se p è un primo dispari, dal piccolo teorema di Fermat segue 2^{p}\equiv 2 \pmod{p} e dunque p\mid (2^{p}-2); anche per n=2 la condizione è verificata. Ne consegue che lungo la sottosuccessione degli indici primi si ha \bigl\lfloor \cos^{2}\!\bigl(\pi(2^{n}-2)/n\bigr) \bigr\rfloor=1 per infiniti n. D’altra parte, scegliendo n=2^{m} con m\ge 2, si ha 2^{n}\equiv 0 \pmod{n} e quindi

\[ \frac{2^{n}-2}{n}=q-\frac{2}{n}\quad\text{con}\ q\in\mathbb{Z}, \]

da cui

\[ \cos^{2}\!\left(\pi\,\frac{2^{n}-2}{n}\right) =\cos^{2}\!\left(\pi-\frac{2\pi}{n}\right) =\cos^{2}\!\left(\frac{2\pi}{n}\right) <1. \]

Inoltre \cos^{2}(2\pi/n)\to 1 quando n\to\infty, ma resta sempre strettamente minore di 1 per tali n, per cui la parte intera inferiore vale 0 su questa sottosuccessione infinita. Poiché la successione assume il valore 1 per infiniti indici e il valore 0 per infiniti altri indici, si conclude che il limite richiesto non esiste; per completezza si registra che il limite inferiore è 0 e il limite superiore è 1.