Prodotto di Cauchy

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Cos’è il prodotto di Cauchy di serie numeriche e quali sono le sue proprietà? Il prodotto di Cauchy è un modo per definire la nozione di prodotto di serie numeriche e . Sebbene una prima ingenua idea potrebbe essere definire il prodotto come , questa definizione ovviamente non coinciderebbe col prodotto di due somme finite.

Il modo quindi più naturale per definire il prodotto di due serie è quello che introduciamo nelle prime righe di questo articolo, e che viene detto prodotto di Cauchy delle serie numeriche date. Dopo averne dato la definizione e spiegato l’intuizione soggiacente, mostriamo il famoso teorema di Mertens, secondo il quale il prodotto di Cauchy converge al prodotto delle somme delle due serie, nell’ipotesi che almeno una di esse sia assolutamente convergente.

Nella sezione finale dell’articolo, dimostriamo inoltre che, se il prodotto di Cauchy è convergente, allora esso converge necessariamente al prodotto delle somme delle due serie.