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Criterio di condensazione per serie numeriche

Teoria Serie numeriche

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Autori e revisori

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Introduzione

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Il criterio di condensazione per serie numeriche, detto anche di Cauchy, è un risultato che permette di studiare la convergenza di una serie \sum_{n=1}a_n a termini positivi e decrescenti. I termini a_n della serie possono essere infatti “raggruppati” in gruppi formati da 2^n termini consecutivi: in ciascun gruppo il primo termine è a_{2^n}, e l’ultimo è a_{2^{n+1}-1}. Grazie alla monotonia del termine generale, la somma di ciascun gruppo deve essere compresa tra 2^n a_{2^{n+1}-1} e 2^n a_{2^n}. Applicando questa stima a ciascun gruppo, si ottiene la catena di disuguaglianze

\[ \sum_{n=0}^{+\infty} 2^n a_{2^{n+1}-1} \leq \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \leq \sum_{n=0}^{+\infty} 2^n a_{2^{n}}. \]

Per il criterio del confronto, ciò implica che il carattere della serie originaria è lo stesso della cosiddetta serie condensata, cioè \sum_{n=0}^{+\infty} 2^n a_{2^{n}}, che può essere notevolmente più semplice da studiare.

In questo articolo esprimiamo rigorosamente il criterio, ne forniamo una dimostrazione e vediamo come esso consenta di stabilire facilmente il carattere delle serie armoniche generalizzate.


 
 

Criterio di condensazione

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Il criterio di condendazione mette in relazione il carattere di una serie a termini positivi e decrescenti con il carattere di un’altra serie, ottenuta a partire da essa, detta la serie condensata associata alla serie di partenza.

Teorema 1 (criterio di condensazione di Cauchy). Sia \{a_n\}_{n\geq 1} una successione a termini positivi decrescente, ovvero

\[a_n\geq a_{n+1}>0 \qquad \forall \,n \geq 1.\]

Allora, le serie

\[\sum_{n=1}^{+\infty }a_n \qquad \mbox{e} \qquad \sum_{n=0}^{+\infty }2^na_{2^n}\]

hanno lo stesso carattere.

\[\quad\]

Dall’ipotesi di decrescenza della successione \{ a_n \}, otteniamo che \forall \,n \geq 1

(1) \begin{equation*} \sum_{k=2^{n-1}+1}^{2^n} a_k \geq 2^{n-1} a_{2^n}, \end{equation*}

in quanto ognuno dei 2^{n-1} termini della somma (1) è minorato da a_{2^n}.

Fissato N >0, abbiamo dunque

(2) \begin{equation*} \begin{aligned} S_N= \sum_{n=1}^{N }a_n \geq \sum_{n=1}^{2^{\lfloor\log_2N\rfloor}}a_n = \, & a_1+ \sum_{n=1}^{\lfloor\log_2N\rfloor} \left( \sum_{k=2^{n-1}+1}^{2^n} a_k \right)\geq \\ \geq \, & \sum_{n=0}^{\left\lfloor \log_2 N \right\rfloor}2^{n-1}a_{2^n} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\left\lfloor \log_2 N \right\rfloor}2^n a_{2^n}, \end{aligned} \end{equation*}

dove nella prima disuguaglianza abbiamo trascurato i termini a_n con 2^{\left\lfloor \log_2 N \right\rfloor}< n\leq N e nell’ultima disuguaglianza abbiamo applicato (1). Passando al limite nella (2) e ricordando che il limite esiste (il termine generale è positivo e quindi le somme parziali sono crescenti), otteniamo che

(3) \begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}2^{n}a_{2^n}\leq 2\sum_{n=1}^{+\infty }a_n. \end{equation*}

Analogamente alla (1), otteniamo che \forall \, n \geq 0

(4) \begin{equation*} \sum_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1} a_k \leq 2^{n} a_{2^n}, \end{equation*}

Fissato N >0, abbiamo dunque

(5) \begin{equation*} S_N= \sum_{n=1}^{N }a_n \leq \sum_{n=1}^{2^{\lfloor\log_2(N)\rfloor+1}-1}a_n = \, a_1+ \sum_{n=1}^{\lfloor\log_2(N)\rfloor} \left( \sum_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1} a_k \right)\leq \, \sum_{n=0}^{\left\lfloor \log_2 N \right\rfloor}2^{n}a_{2^n}, \end{equation*}

dove nella prima disuguaglianza abbiamo aggiunto a destra i termini a_n con N <n \leq2^{\lfloor\log_2(N)\rfloor+1}-1 e nell’ultima disuguaglianza abbiamo applicato (4).

Passando al limite nella (2) e ricordando che il limite esiste, otteniamo che

(6) \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty }a_n\leq \sum_{n=0}^{+\infty}2^na_{2^n}. \end{equation*}

Pertanto, unendo (3) e (6), concludiamo che

\[\sum_{n=1}^{+\infty }a_n\leq \sum_{n=0}^{+\infty}2^na_{2^n}\leq2\sum_{n=1}^{+\infty }a_n,\]

e dunque per confronto

\[\sum_{n=1}^{+\infty }a_n \qquad \mbox{e} \qquad \sum_{n=0}^{+\infty}2^na_{2^n}\]

hanno lo stesso carattere.

Osservazione 2. La serie \sum_{n=0}^{+\infty }2^na_{2^n} è detta la serie condensata di \sum_{n=1}^{+\infty }a_n.


 
 

Criterio di condensazione e serie armonica generalizzata

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