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Esercizi su serie geometriche e telescopiche

Esercizi Serie geometriche e telescopiche

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In questo articolo proponiamo 10 esercizi sul calcolo della somma di una serie numerica, mediante l’uso degli strumenti sulle somme telescopiche, la formula per la somma di una serie geometrica e altre tecniche. Gli esercizi sono completamente risolti, così che il lettore possa confrontare le proprie soluzioni con quelle da noi proposte. La raccolta è quindi particolarmente utile come approfondimento per gli studenti dei corsi di Analisi Matematica 1 e per appassionati che desiderano confrontarsi col calcolo esplicito di somme infinite.
Un sunto della teoria necessaria è presente nei richiami teorici della sezione 1, ma rimandiamo a Teoria sulle serie numeriche per ulteriori dettagli e le dimostrazioni dei risultati enunciati.

Segnaliamo anche gli ulteriori esercizi sulle serie numeriche:

Buona lettura!

 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Jacopo Garofali

Revisori: Sara Sottile, Matteo Talluri.


 
 

Prerequisiti

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In queste note si presuppone la conoscenza di alcuni concetti di base dell’analisi matematica, tra cui i numeri (naturali, interi, reali, complessi), il principio di induzione, il concetto di successione numerica e di limite di una successione. Inoltre, per la comprensione del teorema 6, è necessario che il lettore sia familiare con la nozione di integrale di Riemann di una funzione reale di variabile reale. Infine, in molti esercizi facciamo uso degli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari.

 
 

Notazioni

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\mathbb{N}=\{ 0,1, \dots \} Insieme dei numeri naturali;
\mathbb{Z} Insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb{R} Insieme dei numeri reali;
\mathbb{C} Insieme dei numeri complessi;
\displaystyle \sum_{n=N}^Ma_n=a_N+a_{N+1}+\dots + a_M Somma di un numero finito di termini;
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n=a_1+a_{2}+\dots Serie numerica di termine generale a_n;
\displaystyle \prod_{n=N}^{M}a_n=a_N\cdot a_{N+1}\cdot \dots \cdot a_M Prodotto di un numero finito di termini;
\displaystyle \prod_{n=1}^{+ \infty}a_n=a_1\cdot a_2 \cdot \dots Prodotto infinito di termine generale a_n;
|x| Modulo di un numero x \in \mathbb{R} (risp. x \in \mathbb{C});
\sqrt[n]{x} Radice n-esima un numero x \in \mathbb{R} (quando esiste);
n! Fattoriale di un numero n \in\mathbb{N};
n!! Doppio fattoriale di un numero n \in\mathbb{N};
e Numero di Nepero;
\ln{x} Logaritmo naturale di un numero x >0;
\sin{x} Seno di un numero x \in \mathbb{R};
\cos{x} Coseno di un numero x \in \mathbb{R};
\arctan{x} Arcotangente di un numero x \in \mathbb{R};
\lim_{n\rightarrow +\infty} Limite di una successione;
\limsup_{n\rightarrow +\infty} Limite superiore di una successione;
\liminf_{n\rightarrow +\infty} Limite inferiore di una successione;
o(1) Simbolo di Landau o-piccolo di 1;
\sim Relazione di asintotica equivalenza.;
\int_a^b f(x)\,{\rm d}x Integrale definito tra a e b di una funzione.


 
 

Introduzione

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Le serie generalizzano l’operazione di addizione sui numeri reali nel caso in cui ad essere sommati siano un numero infinito di termini. Data una successione \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} possiamo considerare la successione delle some parziali associata a \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}, denotata con \left\{ S_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}, definita da

(\ast) \begin{equation*} \begin{split} S_n:&=\sum\limits_{k=0}^n a_k \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \end{split} \end{equation*}

cioè la somma dei primi n termini della successione, al variare di n.

Definizione 1 (serie numerica). Se il limite della successione delle somme parziali (*) esiste, si pone

\[\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n \coloneqq \lim_{n\rightarrow +\infty}S_n \in \mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\}.\]

Se tale limite è finito, diciamo che la {serie} associata alla successione \{ a_n \} è convergente, e che converge a tale limite. Se, invece, tale limite è finito o non esiste, diciamo che la serie associata alla successione \{ a_n \} è non convergente.

\[\quad\]

Nel caso in cui la serie sia non convergente possiamo distinguere tre casi:

\[\quad\]

  • Il limite esiste e vale \displaystyle \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n =+\infty;

    •  

  • Il limite esiste e vale \displaystyle \sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n =-\infty;

    •  

  • Il limite non esiste.

Nel primo caso diciamo che la serie è divergente positivamente, nel secondo caso che è divergente negativamente e nel terzo caso che è indeterminata.


 
 

Richiami di teoria

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In questa sezione richiamiamo alcuni risultati fondamentali della teoria delle serie numeriche, necessari per la risoluzione degli esercizi proposti. Per maggiori dettagli si veda Teoria sulle serie numeriche.

Proposizione 1 (condizione necessaria per la convergenza). Sia \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n una serie convergente. Allora, il suo termine generale è infinitesimo, i.e. si ha

\[\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0.\]

Lemma 1 (convergenza delle serie a termini di segno costante). Le serie a termini di segno definitivamente non negativo (risp. non positivo) possono essere convergenti o divergenti positivamente (risp. negativamente), ma non indeterminate.

Lemma 2. Due successioni che differiscono definitivamente di una costante hanno lo stesso carattere.

Corollario 1. Sia \{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R} una successione. Per ogni p >0, le serie

\[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n \quad \mbox{e} \quad \sum_{n=p}^{+\infty}a_n\]

hanno lo stesso carattere.

Corollario 2. Siano \{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}},\{ b_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R} due successioni che coincidono definitivamente. Allora, le serie

\[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n \quad \mbox{e} \quad \sum_{n=0}^{+\infty}b_n\]

hanno lo stesso carattere.

Lemma 3. Sia \sum_{n=1}^{+\infty}a_n una serie convergente. Allora, per ogni \alpha \in \mathbb{R}, la serie \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n) converge, e si ha

(1) \begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n)=\alpha\sum_{n=0}^{+\infty}a_n. \end{equation*}

Se, invece, la serie \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n diverge, allora \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(\alpha\, a_n) diverge per ogni \alpha \neq 0.

Lemma 4. Siano date le serie \sum_{n=0}^{+\infty}a_n e \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n. Allora,

\[\quad\]

  • se entrambe le serie convergono, anche la serie \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n) converge e si ha

    \[\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\left(a_n+b_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n+\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n;\]

    •  

  • se entrambe le serie divergono positivamente (risp. negativamente), oppure se una diverge positivamente (risp. negativamente) e l’altra converge, allora la serie \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n) diverge positivamente (risp. negativamente).

Lemma 5 (somma geometrica). Sia x \in \mathbb{R}. Allora, vale che:

\[\sum_{k=0}^nx^k=\begin{cases} \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x\phantom{h}}, \mbox{ se } x \neq 1;\\ \\ n+1, \mbox{ se } x = 1. \end{cases}\]

Proposizione 2 (carattere serie geometrica]. Sia x \in \mathbb{R}. La serie geometrica di ragione x vale

(2) \begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}x^n =\begin{cases} \dfrac{1}{1-x}, \qquad & \text{se } x \in (-1,1) ; \\\\ +\infty, \qquad & \text{se } x \in[1,+\infty);\\\\ {\rm indeterminata}, \qquad & \text{se } x \in(-\infty,-1]. \end{cases} \end{equation*}

Lemma 6 (somma telescopica). Sia \{ b_n \}\subset \mathbb{R} una successione. Allora, vale che

(3) \begin{equation*} \sum_{k=0}^{n}\left( b_{k+1}-b_k\right) = b_{n+1}-b_0. \end{equation*}

Proposizione 3 (carattere serie telescopica). Sia \displaystyle S= \sum_{n=0}^{+\infty}(b_{n+1}-b_n) una serie telescopica, allora vale:

(4) \begin{equation*} S\coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty}(b_{n+1}-b_n)= \begin{cases} \left( \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n \right)-b_0, \qquad & \mbox{se esiste } \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n; \\\\ {\rm indeterminata}, \qquad & \mbox{altrimenti}. \end{cases} \end{equation*}

\[\quad\]

I prossimi risultati forniscono i principali strumenti da utilizzare nello studio della convergenza delle serie numeriche a termini non negativi.

Teorema 1 (criterio del confronto). Siano \{a_n\},\{b_n\} due successioni numeriche tali che definitivamente vale 0\leq a_n\leq b_n. Allora, si ha:

\[\quad\]

  1. \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n < +\infty \implies \sum_{n=0}^{+\infty}a_n < +\infty

    2.  

  2. \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n = +\infty \implies \sum_{n=0}^{+\infty}b_n = +\infty

Teorema 2 (criterio del confronto asintotico). Siano \{a_n\},\{b_n\} due successioni a termini definitivamente positivi e tale che b_n >0 definitivamente. Supponiamo che

\[\lim_{n\to +\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\ell\in[0,+\infty].\]

Si ha che

\[\quad\]

  1. Se \ell=0\, e \,\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n<+\infty, allora \,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n<+\infty;

    2.  

  2. se \ell=+\infty\, e \,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n=+\infty, allora \,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n=+\infty;

    3.  

  3. se \ell \in(0,+\infty)\,, allora \,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n<+\infty se e solo se \,\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n<+\infty.

Teorema 3 (criterio di condensazione di Cauchy). Sia \{a_n\}_{n\geq 1} una successione a termini positivi e monotona non crescente, ovvero

\[a_n\geq a_{n+1}>0 \qquad \forall n \geq 1.\]

Allora, le serie

\[\sum_{n=1}^{+\infty }a_n \qquad \mbox{e} \qquad \sum_{n=0}^{+\infty }2^na_{2^n}\]

hanno lo stesso carattere.

Lemma 7 (serie armonica generalizzata del primo tipo). Sia \alpha \in \mathbb{R}. Allora,

\[S_\alpha = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha} \quad \begin{cases} \text{converge}, \quad &\text{se}\,\,\alpha>1;\\ \text{diverge}, &\text{se}\,\,\alpha \leq 1. \end{cases}\]

Lemma 8 (serie armonica generalizzata del secondo tipo). Siano \alpha, \beta \in \mathbb{R}. Allora,

\[S_{\alpha,\beta} = \sum\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta} \quad \begin{cases} {\text{converge}},&\text{se}\,\, \alpha >1\, \lor \, \left( \alpha =1\, \wedge \, \beta >1 \right);\\ +\infty ,&\text{se}\,\,\alpha <1\, \lor \, \left( \alpha =1\, \wedge \, \beta \leq 1 \right). \end{cases}\]

Teorema 4 (criterio del rapporto). Sia \sum_{n=1}^{+\infty}a_n una serie a termini definitivamente positivi tale che

(5) \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\ell\in[0,+\infty]. \end{equation*}

Allora, vale che:

\[\quad\]

  • Se \ell\in [0,1), la serie converge;

    •  

  • Se \ell\in(1,+\infty], la serie diverge;

    •  

  • Se \ell=1, il criterio è inconcludente.

Teorema 5 (criterio della radice). Sia \sum_{n=1}^{+\infty}a_n una serie a termini definitivamente positivi tale che

(6) \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\sqrt[n]{a_{n}}=\ell\in[0,+\infty]. \end{equation*}

Allora, vale che:

\[\quad\]

  • Se \ell\in [0,1), la serie converge;

    •  

  • Se \ell\in(1,+\infty], la serie diverge;

    •  

  • Se \ell=1, il criterio è inconcludente.

Teorema 6 (criterio dell’integrale). Sia \{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}} una successione a termini positivi e decrescente e sia f:[1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} una funzione positiva e decrescente tale che f(n) = a_n per ogni n\in\mathbb{N}. Allora, l’integrale improprio \displaystyle \int\limits_{1}^{+\infty}f(x)\,{\rm d}x ha lo stesso carattere della serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n.

Teorema 7 (criterio di Raabe). Sia \displaystyle \sum_{n =1}^{+\infty} a_n una serie a termini definitivamente positivi, e supponiamo che esista

\[\ell = \lim_{n \to +\infty} n \bigg( \frac{a_n}{a_{n+1}} -1 \bigg).\]

Allora, vale che:

\[\quad\]

  • Se \displaystyle \ell\in(1,+\infty], la serie converge;

    •  

  • Se \displaystyle\ell \in [-\infty,1), la serie diverge;

    •  

  • Se \displaystyle \ell=1, il criterio è inconcludente.

Teorema 8 (criterio del logaritmo). Sia \displaystyle \sum_{n =1}^{+\infty} a_n una serie a termini definitivamente positivi e supponiamo che esista

\[\ell = \lim_{n \to +\infty}\dfrac{\ln a_n}{\ln n }.\]

Allora, vale che:

\[\quad\]

  • Se \ell \in [-\infty,-1), la serie converge;

    •  

  • Se \ell \in (-1,+\infty], la serie diverge;

    •  

  • Se \ell=-1, il criterio è inconcludente.

\[\quad\]

Per quanto riguarda le serie a termini di segno variabile, abbiamo i seguenti risultati.

Definizione 2 (convergenza assoluta). Sia \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} una successione. Diremo che la serie \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n è assolutamente convergente, oppure converge assolutamente, se

\[\sum_{n=0}^{+\infty}\left|a_n\right| < +\infty.\]

Proposizione 4 (criterio della convergenza assoluta). Sia \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} una successione. Se la serie \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n converge assolutamente, allora converge semplicemente.

Teorema 9 (criterio di Leibniz). Sia \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R} una successione che soddisfa le seguenti proprietà:

\[\quad\]

  • \{a_n\} è definitivamente monotona;

    •  

  • \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0.

Allora, la serie \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n a_n è convergente.

Teorema 10 (criterio di Dirichlet). Siano \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}, \{ b_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} due successioni tale che:

\[\quad\]

  • la successione \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} è definitivamente monotona;

    •  

  • \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n = 0;

    •  

  • la successione \{B_n\}_{n \in \mathbb{N}} delle somme parziali di \left\{ b_n \right\} è limitata.

Allora, la serie \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n b_n è convergente.

Teorema 11 (criterio di Abel). Siano \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}, \{ b_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} due successioni tale che

\[\quad\]

  • la successione \{a_n\} è definitivamente monotona e limitata.

    •  

  • \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}b_n converge;

Allora, la serie \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}a_n b_n è convergente.

\[\quad\]

Infine, ricordiamo la stima asintotica del fattoriale.

Lemma 9 (approssimazione di Stirling). Si ha

(7) \begin{equation*} \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{n!}{\left( \dfrac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}}=1, \end{equation*}

o, equivalentemente,

(8) \begin{equation*} n! =\sqrt{2\pi n} \left( \dfrac{n}{e}\right)^n(1+o(1)) \qquad \mbox{per } n \rightarrow + \infty. \end{equation*}


 
 

Esercizi

 

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare la somma della seguente serie:

(9) \begin{equation*} S \coloneqq \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right). \end{equation*}

Svolgimento.

Ricordando i risultati sulle somme telescopiche, cf. lemma 6 e proposizione 3, segue che

\[\begin{aligned} S_N=&\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}, \end{aligned}\]

da cui

\[S=\lim_{N\rightarrow+\infty}S_N=1.\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare la somma della seguente serie:

\[S\coloneqq\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)} .\]

Svolgimento.

Decomponiamo in fratti semplici il termine generale:

\[\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{A}{n}+\dfrac{B}{n+1}+\dfrac{C}{n+2}\quad \text{con}\,\,A,B,C\in \mathbb{R},\]

da cui

\[\begin{aligned} \dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}&=\dfrac{A\left(n^2+3n+2\right)+B\left(n^2+2n\right)+C\left(n^2+n\right)}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\\ &=\dfrac{\left(A+B+C\right)n^2+\left(3A+2B+C\right)n+2A}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}. \end{aligned}\]

Otteniamo il sistema

\[\begin{cases} A+B+C=0\\ 3A+2B+C=0\\ 2A=1 \end{cases} \quad \iff \quad \begin{cases} A=\dfrac{1}{2}\\ B=-1\\ C=\dfrac{1}{2}. \end{cases}\]

Quindi

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{2\left(n+2\right)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}\right). \end{aligned}\]

Pertanto, dal fatto che la somma è telescopica, cf. lemma 6, otteniamo

\[\begin{aligned} S&=\lim_{N\to+\infty}\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\lim_{N\to+\infty}\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)+\left(\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}\right)\right]=\\ &=\lim_{N\to+\infty}\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{N+1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{N+2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}. \end{aligned}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare la somma della seguente serie:

\[S\coloneqq\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2^n}} .\]

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