Convergenza totale e M-test di Weierstrass

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Introduzione

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Cosa sono la convergenza totale di una serie di funzioni e il cosiddetto M-test di Weierstrass? E come sono legati tra loro?

La nozione di convergenza totale e l’M-test di Weierstrass costituiscono l’analogo, per le serie di funzioni, del criterio di convergenza assoluta per le serie numeriche. L’idea fondamentale è che, se si riesce a stimare dall’alto la quantità $\sup_{x \in E} |f_k(x)|$ con una successione di numeri reali $M_k$ tale che la serie numerica $\sum_{k=1}^{+\infty} M_k$ sia convergente, allora la serie di funzioni $\sum_{k=1}^{+\infty} f_k$ deve essere a sua volta uniformemente convergente.

In questo articolo esponiamo nel dettaglio questi concetti, illustrandone inoltre le relazioni con le convergenze puntuale e uniforme mediante alcuni esempi.