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Esercizi sulle serie di funzioni

Esercizi Serie di funzioni

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Sommario

Raccolta di esercizi risolti sulle serie di funzioni. I problemi riguardano diversi aspetti della teoria, come la convergenza puntuale, uniforme e totale, i loro legami, oltre a includere casi dipendenti da parametri.
 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.


 
 

Notazioni

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\mathbb{N}
Insieme dei numeri naturali \{1,2,3,\ldots\};
\mathbb{Z}
Insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb{R}
Insieme dei numeri reali;
\lVert f \rVert_{\infty}
Norma del sup (o norma uniforme) della funzione f, pari a \sup |f|;
\operatorname{sgn}(x)
Funzione segno di x.

 
 

Richiami di teoria

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Ricordiamo brevemente le definizioni e i risultati principali che utilizzeremo nella soluzione degli esercizi rimandando alla dispensa teorica [2] per una trattazione completa dell’argomento.

Definizione 1 (serie di funzioni, [2, definizione 2.1]). Sia E \subseteq \mathbb{R} e sia f_k \colon E \to \mathbb{R} una successione di funzioni. Per ogni n \in \mathbb{N} la funzione S_n \colon E \to \mathbb{R} definita da

(1) \begin{equation*} S_n(x) = \sum_{k=1}^n f_k(x) \qquad \forall x \in E \end{equation*}

è detta somma parziale n-esima delle funzioni f_k. La successione S_n delle somme parziali è detta serie delle funzioni f_k e si indica col simbolo

(2) \begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x). \end{equation*}

 

Definiamo ora alcuni tipi di convergenza per le serie di funzioni.    

Definizione 2 (convergenza puntuale e assoluta, [2, definizione 2.4]). Dati E \subseteq \mathbb{R} e una successione di funzioni f_k \colon E \to \mathbb{R}, se la successione S_n = \sum_{k=1}^{n} f_k delle somme parziali converge puntualmente a una funzione S \colon E \to \mathbb{R}, ossia se

(3) \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} S_n(x) = S(x) \qquad \forall x \in E, \end{equation*}

si dice che la serie di funzioni \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x) converge puntualmente a S in E e la funzione S è detta limite puntuale o somma della serie \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x).Si dice che la serie converge assolutamente in E se la serie dei valori assoluti \sum_{k=1}^{+\infty} |f_k(x)| converge puntualmente in E.

   

Definizione 3 (convergenza uniforme, [2, definizione 2.5]). Dati E \subseteq \mathbb{R} e una successione di funzioni f_k \colon E \to \mathbb{R}, se la successione S_n = \sum_{k=1}^{n} f_k delle somme parziali converge uniformemente a una funzione S \colon E \to \mathbb{R}, ossia se per ogni \varepsilon>0 esiste N \in \mathbb{N} tale che

(4) \begin{equation*} |S_n(x) - S(x)|< \varepsilon \qquad \forall n \geq N, \,\,\forall x \in E, \end{equation*}

si dice che la serie di funzioni \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x) converge uniformemente a S in E e la funzione S è detta limite uniforme della serie \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x).

\[\quad\]

Vale la seguente caratterizzazione della convergenza uniforme.    

Proposizione 4 (caratterizzazione della convergenza uniforme, [2, proposizione 2.12]). Sia E \subseteq \mathbb{R} e sia f_k \colon E \to \mathbb{R} una successione di funzioni. La serie di funzioni \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x) converge uniformemente a una funzione S \colon E \to \mathbb{R} se e solo se

(5) \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in E} |S_n(x) - S(x)| = 0. \end{equation*}

    Le seguenti condizioni necessarie alle convergenze puntuale e uniforme sono utili per provare in alcuni casi la mancanza di tali convergenze.    

Proposizione 5 (condizione necessaria alla convergenza puntuale e uniforme, [2, proposizione 3.2]). Sia E \subseteq \mathbb{R} e sia f_k \colon E \to \mathbb{R} una successione di funzioni. Valgono le seguenti implicazioni:

  1. Se la serie di funzioni \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x) converge puntualmente, allora la successione di funzioni f_k converge puntualmente alla funzione nulla;
  2. Se la serie di funzioni \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x) converge uniformemente, allora la successione di funzioni f_k converge uniformemente alla funzione nulla.

    La seguente nozione di convergenza è utile per stabilirne le altre.    

Definizione 6 (convergenza totale o M-test, [2, definizioni 3.10 e 3.11]). Sia E \subseteq \mathbb{R} e sia f_k \colon E \to \mathbb{R} una successione di funzioni. Si dice che la serie di funzioni \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x) converge totalmente in E o soddisfa l’M-test di Weierstrass, se esiste una successione di numeri reali M_k tali che

(6) \begin{equation*} |f_k(x)| \leq M_k \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\, \forall x \in E \end{equation*}

e tali che la serie numerica \sum_{k=1}^{+\infty} M_k sia convergente.

    Valgono le seguenti relazioni tra le varie nozioni di convergenza introdotte.    

Teorema 7 (Relazioni tra le nozioni di convergenza, [2]).

\[ \textit{convergenza totale}\; \begin{array}{c}\Longrightarrow\\[-0.6ex]\not\!\Longleftarrow\end{array}\; \textit{convergenza uniforme}\; \begin{array}{c}\Longrightarrow\\[-0.6ex]\not\!\Longleftarrow\end{array}\; \textit{convergenza puntuale}. \]

\[ \textit{convergenza totale}\; \begin{array}{c}\Longrightarrow\\[-0.6ex]\not\!\Longleftarrow\end{array}\; \textit{convergenza assoluta}\; \begin{array}{c}\Longrightarrow\\[-0.6ex]\not\!\Longleftarrow\end{array}\; \textit{convergenza puntuale}; \]

\[\quad\]

\[ \textit{convergenza uniforme}\; \begin{array}{c}\not\!\Longrightarrow\\[-0.6ex]\not\!\Longleftarrow\end{array}\; \textit{convergenza assoluta}. \]

Il seguente criterio di convergenza uniforme è molto utile nel caso di serie a segno alterno, nel caso che la convergenza uniforme non possa essere dedotta da quella totale.    

Teorema 8 (criterio di Leibnitz per serie di funzioni, [2, teorema 3.19]). Sia E \subseteq \mathbb{R} e sia f_k \colon E \to [0,+\infty) una successione di funzioni non-negative e decrescenti, ossia tali che f_{k+1}(x) \leq f_k(x) per ogni k \in \mathbb{N} e ogni x \in E. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

  1. la successione di funzioni f_k converge uniformemente alla funzione nulla;
  2. la serie di funzioni \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k f_k(x) converge uniformemente in E.

\[\quad\]

La convergenza uniforme consente di commutare l’operazione di somma di una serie con quelle di limite, derivata e integrale, come discusso nel dettaglio in [2].    

Teorema 9 (di scambio tra limiti e serie, [2, teoremi 4.1 e 4.3]). Sia E \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} un punto di accumulazione per E e sia f_k \colon E \to \mathbb{R} una successione di funzioni tale che la serie di funzioni \sum_{k=1}^{+\infty}f_k(x) converga uniformemente a una funzione S \colon E \to \mathbb{R}. Supponiamo inoltre per ogni k \in \mathbb{N} esista finito il limite

(7) \begin{equation*} \ell_k \coloneqq \lim_{x \to x_0} f_k(x) \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Allora valgono le seguenti conclusioni:

\[\quad\]

  1. la serie \sum_{k=1}^{+\infty} \ell_k è convergente a un numero reale \ell;

    2.  

  2. Si ha \displaystyle \lim_{x \to x_0}S(x)=\ell.

Sinteticamente si può scrivere

(8) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \left ( \sum_{k=1}^{+\infty}f_k(x) \right ) = \sum_{k=1}^{+\infty} \left ( \lim_{x \to x_0}f_k(x) \right ). \end{equation*}

In particolare, se le f_k sono continue in E, anche la loro somma S è continua in E.    

Teorema 10 (di integrazione per serie, [2, teoremi 4.4]). Sia f_k \colon [a,b] \to \mathbb{R} una successione di funzioni integrabili secondo Riemann e supponiamo che la serie di funzioni \sum_{k=1}^{+\infty}f_k(x) converga uniformemente a una funzione S \colon [a,b] \to \mathbb{R}. Allora S è integrabile secondo Riemann e vale

(9) \begin{equation*} \int_a^b S(x) \,\mathrm{d}x %= %\int_a^b \left (\sum_{k=1}^{+\infty}f_k(x) \right ) \,\mathrm{d}x = \sum_{k=1}^{+\infty} \left ( \int_a^b f_k(x) \mathrm{d}x \right ). \end{equation*}

   

Teorema 11 (di derivazione per serie, [2, teoremi 4.6]). Sia f_k \colon [a,b] \to \mathbb{R} una successione di funzioni derivabili; supponiamo che:

  1. la serie delle derivate \sum_{k=1}^{+\infty}f_k'(x) converga uniformemente a una funzione G \colon [a,b] \to \mathbb{R};
  2. esista x_0 \in [a,b] tale che la serie \sum_{k=1}^{+\infty}f_k(x_0) sia convergente.

Allora la serie di funzioni \sum_{k=1}^{+\infty}f_k(x) converge uniformemente a una funzione derivabile S \colon [a,b] \to \mathbb{R} e vale S'=G, ossia

(10) \begin{equation*} \left ( \sum_{k=1}^{+\infty} f_k(x) \right )' = \sum_{k=1}^{+\infty} f_k'(x) \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}


 
 

Testi degli esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Studiare la convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale della serie di funzioni

\[ \sum_{n=1}^{{+\infty}}\frac{\sin(nx)}{n^{2}\left(1+x^{2}\right)} \qquad x\in\mathbb R. \]

Svolgimento.

Sia f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n^2(1+x^2)}. Poiché |\sin(nx)| \le 1 e 1+x^2 \ge 1, vale la maggiorazione:

\[ |f_n(x)| = \frac{|\sin(nx)|}{n^2(1+x^2)} \le \frac{1}{n^2 \cdot 1} = \frac{1}{n^2} \eqqcolon M_n \qquad \forall n \in \mathbb{N},\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}. \]

La serie numerica \sum_{n=1}^{{+\infty}} M_n = \sum_{n=1}^{{+\infty}} \frac{1}{n^2} converge (serie armonica generalizzata con esponente 2>1). Dunque la serie di funzioni data converge totalmente su \mathbb{R}. La convergenza totale implica la convergenza uniforme, assoluta e puntuale in \mathbb{R}.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Studiare la convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale della serie di funzioni

\[ \sum_{n=1}^{{+\infty}}\frac{e^{-n x^{2}}}{n^{\frac{3}{2}}} \qquad x\in\mathbb R. \]

Svolgimento.

Sia f_n(x) = \frac{e^{-nx^2}}{n^{3/2}}. Poiché x^2 \ge 0 e n \ge 1, si ha nx^2 \ge 0, quindi 0 < e^{-nx^2} \le e^0 = 1. Si ha quindi

\[ |f_n(x)| = \frac{e^{-nx^2}}{n^{\frac{3}{2}}} \le \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \eqqcolon M_n \qquad \forall n \in \mathbb{N},\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}. \]

La serie numerica \sum M_n = \sum \frac{1}{n^{3/2}} converge (serie armonica generalizzata con esponente \frac{3}{2} > 1). Dunque la serie di funzioni data converge totalmente su \mathbb{R}. Di conseguenza la serie converge uniformemente, assolutamente e puntualmente in \mathbb{R}.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Studiare la convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale della serie di funzioni

\[ \sum_{n=1}^{{+\infty}}\frac{\arctan\left(x^{2}+n\right)}{n^{3}} \qquad x\in\mathbb R. \]

Svolgimento.

Dato che |\arctan(t)| < \frac{\pi}{2} per ogni t \in \mathbb{R}, vale

\[ \frac{|\arctan(x^2+n)|}{n^3} \le \frac{\frac{\pi}{2}}{n^3} \eqqcolon M_n \qquad \forall n \in \mathbb{N},\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}. \]

La serie numerica \sum M_n = \frac{\pi}{2} \sum \frac{1}{n^3} converge (serie armonica generalizzata con esponente 3>1), dunque la serie di funzioni data converge totalmente su \mathbb{R}. Questo implica la convergenza uniforme, assoluta e puntuale in \mathbb{R}.


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Studiare la convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale della serie di funzioni

\[ \sum_{n=1}^{{+\infty}}\frac{\lvert\sin x\rvert}{n^{2}} \qquad x\in\mathbb R. \]

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