Convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier

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	insieme dei numeri naturali positivi;
	insieme dei numeri reali;
	spazio delle funzioni reali periodiche di periodo , limitate e integrabili secondo Riemann;
	prodotto scalare nello spazio ;
,	limiti rispettivamente sinistro e destro della funzione nel punto .

Sotto quali condizioni si ha convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier

(1)

di una funzione verso ? (Si veda (2) e (3) per la definizione dei coefficienti )

In questo articolo vediamo innanzitutto che, se è una cosiddetta funzione regolare a tratti, allora la serie di Fourier di converge puntualmente a un’opportuna regolarizzazione di . Mostriamo poi che, se è continua in un intervallo , allora la convergenza è uniforme in tale intervallo. Mostriamo poi delle condizioni sufficienti affinché la convergenza della serie di Fourier a sia totale. Infine, trattiamo la nozione più naturale di convergenza per le serie di Fourier: quella in norma quadratica e ne deduciamo la famosa identità di Parseval.