Esercizio 9 
. Dimostrare che
![\[\sin(15^\circ)=\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3142137cb80433e67b089fe64fa9adaa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento. Per calcolare il seno di un angolo non notevole dobbiamo cercare di trasformare l’argomento in somma o differenza di angoli notevoli e poi applicare le formule di addizione o sottrazione; in questo caso notiamo che 
, quindi possiamo procedere in questo modo:
da cui la tesi.
Altrimenti si poteva procedere come segue
![\[\begin{aligned} &\sin\left(\dfrac{30^\circ}{2}\right) \overset{\spadesuit}{=} \sqrt{\dfrac{1-\cos(30^\circ)}{2}} = \sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}} = \\ & = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} \overset{\clubsuit}{=} \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{4-3}}{2}} - \sqrt{\dfrac{2-\sqrt{4-3}}{2}}\right) = \\ & = \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{\dfrac{2+1}{2}} - \sqrt{\dfrac{2-1}{2}}\right) = \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{\dfrac{3}{2}} - \sqrt{\dfrac{1}{2}}\right) \overset{\heartsuit}{=} \\ & = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\sqrt{6}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4} \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ee8a44fe1855b2f8b3a515842c98ec89_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove in 
si utilizza la formula di bisezione, in 
si sfrutta la formula per il doppio radicale e infine in 
si razionalizza.
Fonte: Corso base blu di matematica di Massimo Bergami-Anna Trifone-Graziella Barozzi