Esercizio 9 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 9   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dimostrare che

    \[\sin(15^\circ)=\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}.\]

 

Svolgimento. Per calcolare il seno di un angolo non notevole dobbiamo cercare di trasformare l’argomento in somma o differenza di angoli notevoli e poi applicare le formule di addizione o sottrazione; in questo caso notiamo che 15^\circ=45^\circ-30^\circ, quindi possiamo procedere in questo modo:

    \begin{align*} \sin(15^\circ)&=\sin(45^\circ-30^\circ)= \sin(45^\circ)\cos(30^\circ)-\cos(45^\circ)\sin(30^\circ)=\\ &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}, \end{align*}

da cui la tesi.

 

Altrimenti si poteva procedere come segue

    \[\begin{aligned} &\sin\left(\dfrac{30^\circ}{2}\right) \overset{\spadesuit}{=} \sqrt{\dfrac{1-\cos(30^\circ)}{2}} = \sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}} = \\ & = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} \overset{\clubsuit}{=} \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{4-3}}{2}} - \sqrt{\dfrac{2-\sqrt{4-3}}{2}}\right) = \\ & = \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{\dfrac{2+1}{2}} - \sqrt{\dfrac{2-1}{2}}\right) = \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{\dfrac{3}{2}} - \sqrt{\dfrac{1}{2}}\right) \overset{\heartsuit}{=} \\ & = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\sqrt{6}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4} \end{aligned}\]

dove in \spadesuit si utilizza la formula di bisezione, in \clubsuit si sfrutta la formula per il doppio radicale e infine in \heartsuit si razionalizza.

 

Fonte: Corso base blu di matematica di Massimo Bergami-Anna Trifone-Graziella Barozzi