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Esercizio 5 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 5  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Semplificare la seguente espressione:

    \[\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)+\cos(3\pi+\alpha)+\sin(-\alpha)\cot(\alpha-5\pi).\]

 

Svolgimento. Applicando gli archi associati si ha:

  • \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos(\alpha);
  • \cos(3\pi+\alpha)=\cos(2\pi+(\pi+\alpha)) = \cos(\pi+\alpha)=-\cos(\alpha);
  • \sin(-\alpha)=-\sin(\alpha);
  • \sin(-\alpha)=-\sin(\alpha);
  • \dfrac{\cos(\alpha-5\pi)}{\sin(\alpha-5\pi)}=\dfrac{-\cos(\alpha)}{-\sin(\alpha)}=\dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}.

Sostituendo tutti i termini nell’espressione iniziale otteniamo:

    \begin{align*} &\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)+\cos(3\pi+\alpha)+\sin(-\alpha)\cot(\alpha-5\pi)=\\ =&-\cos(\alpha)+(-\cos(\alpha))+(-\sin(\alpha))\cdot\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\\ =&-\cos(\alpha)-\cos(\alpha)-\cos(\alpha)=-3\cos(\alpha). \end{align*}

 

Fonte: Corso base blu di matematica di Massimo Bergami-Anna Trifone-Graziella Barozzi