Esercizio 5 ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione:

$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)+\cos(3\pi+\alpha)+\sin(-\alpha)\cot(\alpha-5\pi).$

Svolgimento. Applicando gli archi associati si ha:

$\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos(\alpha)$ ;
$\cos(3\pi+\alpha)=\cos(2\pi+(\pi+\alpha)) = \cos(\pi+\alpha)=-\cos(\alpha)$ ;
$\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$ ;
$\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$ ;
$\dfrac{\cos(\alpha-5\pi)}{\sin(\alpha-5\pi)}=\dfrac{-\cos(\alpha)}{-\sin(\alpha)}=\dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ .

Sostituendo tutti i termini nell’espressione iniziale otteniamo:

$\begin{align*} &\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)+\cos(3\pi+\alpha)+\sin(-\alpha)\cot(\alpha-5\pi)=\\ =&-\cos(\alpha)+(-\cos(\alpha))+(-\sin(\alpha))\cdot\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\\ =&-\cos(\alpha)-\cos(\alpha)-\cos(\alpha)=-3\cos(\alpha). \end{align*}$

Fonte: Corso base blu di matematica di Massimo Bergami-Anna Trifone-Graziella Barozzi

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