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Esercizio 45 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 45  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere le seguenti equazioni goniometriche

    \[(1)\quad \dfrac{1+\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x)+\cos(x),\qquad (2)\quad 2\sin^2(x)-5\sin(x)-3=0,\qquad (3)\quad \sin(2x)=\cos(x)(1-\cos(2x)).\]

 

1)

Svolgimento.  La condizione di esistenza dell’equazione è data da

    \[\cos(x)\neq0\quad \Leftrightarrow\quad x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}.\]

Si ricorda che

    \[\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)},\]

da cui, è possibile riscrivere l’equazione come segue

    \[\dfrac{1+\sin(x)}{\cos(x)}=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}+\cos(x);\]

moltiplicando entrambi i membri dell’equazione per \cos(x) si ottiene

    \[1+\sin(x)=\sin(x)+\cos^2(x)\quad \Leftrightarrow\quad 1=\cos^2(x)\quad \Leftrightarrow\quad \cos(x)=\pm1.\]

Abbiamo dunque

    \[\begin{aligned} \cos(x)&=1\quad\Leftrightarrow\quad x=2k\pi\vee x=\pi+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\\ \cos(x)&=-1\quad\Leftrightarrow\quad x=\pi+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z} \end{aligned}\]

da cui si ha x=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.
Confrontando le soluzioni con il campo di esistenza deduciamo che sono tutte valide.
Si conclude che la soluzione dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=k\pi ,\, x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\,\,k\in\mathbb{Z} \right\}.}\]

2)

Svolgimento.  Si pone t=\sin(x), ottenendo

    \[2t^2-5t-3=0.\]

Calcoliamo il delta, cioè

    \[\Delta=25-4(-3)(2)=25+24=49,\]

da cui

    \[t_{1,2}=\dfrac{5\pm\sqrt{49}}{4}=\dfrac{5\pm7}{4},\]

e quindi

    \[t_1=3\quad \vee\quad t_2=-\dfrac{1}{2},\]

o anche

    \[\sin(x)=3\quad \vee\quad \sin(x)=-\dfrac{1}{2}.\]

La prima equazione è chiaramente impossibile in quanto

    \[-1\leq\sin(x)\leq1,\,\forall x \in\mathbb{R}.\]

La seconda equazione ha soluzione

    \[x=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi\quad \vee\quad x=\dfrac{11\pi}{6}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.\]

Si conclude che la soluzione dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{S}=\left\{x \in \mathbb{R}:\,x=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi,\; x=\dfrac{11\pi}{6}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\right\}. }\]

3)

Svolgimento.  Utilizziamo le formule di duplicazione per portare tutte le funzioni allo stesso argomento:

    \[\begin{aligned} \sin(2x)&=2\sin(x)\cos(x);\\ \cos(2x)&=1-2\sin^2(x). \end{aligned}\]

Abbiamo dunque

    \[\begin{aligned} & 2\sin(x)\cos(x)=\cos(x)(1-(1-2\sin^2(x))\quad \Leftrightarrow \quad 2\sin(x)\cos(x)=\cos(x)(2\sin^2(x))\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \Leftrightarrow \quad 2\sin(x)\cos(x)=2\cos(x)\sin^2(x)\quad \Leftrightarrow \quad2\sin(x)\cos(x)=2\cos(x)\sin^2(x)\quad \Leftrightarrow \quad \\ &\Leftrightarrow \quad2\cos(x)\sin(x)(1-\sin(x))=0, \end{aligned}\]

da cui

    \[\cos(x)=0\quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z},\]

    \[\sin(x)=0\quad \Leftrightarrow\quad x=k\pi,\;k\in\mathbb{Z},\]

e

    \[\sin(x)=1\quad \Leftrightarrow \quad x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.\]

Si conclude che la soluzione dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{S}=\left\{x \in \mathbb{R}:\,x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\; \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi,x=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\right\}. }\]

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