Esercizio 44 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 44   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere le seguenti equazioni goniometriche

    \[(1)\quad 2\sin^2(x)=\sin(2x),\qquad (2)\quad 2\sin^2(x)-5\sin(x)-3=0.\]

 

1)

Svolgimento.  È utile applicare le formule di duplicazione, ovvero

    \[\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\]

e sostituendo otteniamo:

    \[2\sin^2(x)=2\sin(x)\cos(x)\quad \Leftrightarrow\quad \sin^2(x)-\sin(x)\cos(x)=0\quad \Leftrightarrow\quad \sin(x)(\sin(x)-\cos(x))=0,\]

da cui

    \[\sin(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\]

e

    \[\begin{aligned} & \sin(x)-\cos(x)=\sqrt{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin(x)-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(x)\right)=\sqrt{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(x)-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin(x)\right)=\\ &=\sqrt{2}\left( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\cos(x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\sin(x)\right)=\sqrt{2}\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\quad \Leftrightarrow\quad x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\quad \Leftrightarrow\quad \\ & \Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}. \end{aligned}\]

Si conclude che la soluzione dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=k\pi ,\, x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\,\,k\in\mathbb{Z} \right\}.}\]

2)

Svolgimento.  Si pone t=\sin(x), ottenendo

    \[2t^2-5t-3=0.\]

Calcoliamo il delta, cioè

    \[\Delta=25-4(-3)(2)=25+24=49,\]

da cui

    \[t_{1,2}=\dfrac{5\pm\sqrt{49}}{4}=\dfrac{5\pm7}{4},\]

e quindi

    \[t_1=3\quad \vee\quad t_2=-\dfrac{1}{2},\]

o anche

    \[\sin(x)=3\quad \vee\quad \sin(x)=-\dfrac{1}{2}.\]

La prima equazione è chiaramente impossibile in quanto

    \[-1\leq\sin(x)\leq1,\,\forall x \in\mathbb{R}.\]

La seconda equazione ha soluzione

    \[x=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi\quad \vee\quad x=\dfrac{11\pi}{6}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.\]

Si ha dunque

    \[\mathcal{S}=\left\{\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi,\; \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\right\}\]

Si conclude che la soluzione dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{S}=\left\{x \in \mathbb{R}:\,\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi,\; \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\right\}. }\]