Esercizio 43 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

Home » Esercizio 43 ripasso goniometria e trigonometria
Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page


 

Esercizio 43   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere le seguenti equazioni goniometriche

    \[(1)\quad \cos(x)-\sin(x)=\sqrt{2},\qquad (2)\quad \sqrt{3}\sin(x)+3\cos(x)+3=0, \qquad (3) \quad \sin(x)+2\cos(x)-6=0.\]

 

1)

Svolgimento.  Osserviamo quanto segue

    \[\cos(x)-\sin(x)=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x \right)=\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\cos x -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\sin x \right)=\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right).\]

Dunque, l’equazione diventa

    \[\cos(x)-\sin(x)=\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)=\sqrt{2},\]

o anche

    \[\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)=1,\]

che ha come soluzione

    \[\dfrac{\pi}{4}+x=2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\quad \Leftrightarrow \quad x=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}.\]

Si conclude che la soluzione dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z} \right\}.}\]

Altrimenti, l’equazione poteva essere risolta applicando il metodo algebrico. Ricordiamo le formule parametriche

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \sin(x)=\dfrac{2t}{1+t^2};\\\\ \cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2};\\\\ t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right) \end{cases} \end{equation*}

valide per x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi con k\in\mathbb{Z}.
Dunque, applicando le formule parametriche,
l’equazione diventa:

    \[\begin{aligned} &\cos(x)-\sin(x)=\sqrt{2}\quad \Leftrightarrow\quad\dfrac{1-t^2}{1+t^2}-\dfrac{2t}{1+t^2}=\sqrt{2}\quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{1-t^2-2t}{1+t^2}=\sqrt{2}\quad \Leftrightarrow\quad\\ &\Leftrightarrow\quad1-t^2-2t=\sqrt{2}+\sqrt{2}t^2 \quad \Leftrightarrow\quad1-t^2-2t=\sqrt{2}+\sqrt{2}t^2\quad \Leftrightarrow\quad (\sqrt{2}+1)t^2+2t+\sqrt{2}-1=0. \end{aligned}\]

Il delta dell’equazione di secondo grado è

    \[\Delta=4-4(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)= 4-4(2-1)=4-4=0,\]

da cui

    \[t=\dfrac{-2}{2(\sqrt{2}+1)}=\dfrac{-1}{\sqrt{2}+1},\]

e infine, razionalizzando, si ottiene

    \[t=\dfrac{-1}{\sqrt{2}+1}\cdot\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} =\dfrac{1-\sqrt{2}}{2-1}=1-\sqrt{2}.\]

Abbiamo dunque

    \[\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)=1-\sqrt{2}\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{x}{2}=-\dfrac{\pi}{8}+k\pi,\, k\in\mathbb{Z}\quad \Leftrightarrow \quad x=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\]

come ottenuto in precedenza.

2)

Svolgimento. Per prima cosa dividiamo ambo i membri dell’equazione per \sqrt{3}, ottenendo

    \[\sin(x)+ \sqrt{3}\cos(x)+ \sqrt{3}=0.\]

Osserviamo quanto segue

    \[\sin(x)+ \sqrt{3}\cos(x)=2\left(\dfrac{1}{2}\sin(x)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)\right)=2\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\sin x +\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\cos x\right)=2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right).\]

Dunque, l’equazione può essere riscritta come segue

    \[\sin(x)+ \sqrt{3}\cos(x)+ \sqrt{3}=2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\sqrt{3}=0,\]

da cui

    \[\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\]

cioè

    \[x-\dfrac{\pi}{6}=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\, k\in\mathbb{Z},\]

o anche

    \[x=\pi+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\quad \vee \quad x=-\dfrac{2}{3}\pi+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}.\]

Si conclude che la soluzione dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x \in \mathbb{R}\setminus \left\{\dfrac{k\pi}{2},\,k\in \mathbb{Z}\right\}:\,x=\pi+2k\pi,\, x=-\dfrac{2}{3}\pi+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}. }\]

 

3)

Svolgimento.  Risolviamo l’equazione con il \textit{metodo grafico}; per prima cosa applichiamo il seguente cambio di variabili:

    \[\begin{cases} Y=\sin(x)\\ X=\cos(x) \end{cases}\]

da cui, per l’identità fondamentale, si ha

    \[X^2+Y^2=1,\]

che possiamo mettere a sistema con l’equazione (3) e ottenere il seguente sistema

    \[\begin{cases} Y+2X-6=0\\ X^2+Y^2=1. \end{cases}\]

Osserviamo che il sistema rappresenta l’intersezione tra una retta e una circonferenza con centro l’origine e raggio pari ad 1. Risolviamo il sistema per sostituzione, ottenendo

    \[\begin{cases} Y=6-2X\\ X^2+(6-2X)^2=1, \end{cases}\]

risolviamo la seconda equazione:

    \[X^2+(6-2X)^2=1\quad \Leftrightarrow\quad X^2+36+4X^2-24X=1\quad\Leftrightarrow\quad 5X^2-24X+35=0.\]

Si noti che il delta dell’equazione è negativo, infatti si ha

    \[\dfrac{\Delta}{4}=\left(\dfrac{24}{2}\right)^2-(5)(35)= 144-175<0.\]

Il sistema non ammette soluzioni e quindi l’equazione risulta (3) è impossibile.