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Esercizio 42 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 42  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere le seguenti equazioni goniometriche

    \[(1)\quad 2\cos^2(x)-\sin(x)-1=0,\qquad (2)\quad \cot(2x)\cdot\cot(x)=1, \qquad (3) \quad \cos(4x)-\cos(2x)=\sin(3x).\]

 

1)

Svolgimento. Sfruttando l’identità fondamentale della goniometria possiamo trasformare il coseno nel modo seguente:

    \[\cos^2(x)=1-\sin^2(x).\]

Sostituendo nell’equazione otteniamo

    \[\begin{aligned} & 2\cos^2(x)-\sin(x)-1=0 \quad \Leftrightarrow\quad 2(1-\sin^2(x))-\sin(x)-1=0 \quad \Leftrightarrow\quad \\ & \Leftrightarrow\quad 2-2\sin^2(x)-\sin(x)-1=0\quad \Leftrightarrow\quad 2\sin^2(x)+\sin(x)-1=0\quad \Leftrightarrow\quad \\ &\Leftrightarrow\quad 2\sin^2(x)+2\sin(x)-\sin x -1=0\quad \Leftrightarrow\quad 2 \sin x \left(\sin x +1\right)-\left(\sin x +1\right)=0\quad \Leftrightarrow\quad\\ & \Leftrightarrow\quad\left(2\sin x -1\right)\left(\sin x +1\right)=0, \end{aligned}\]

da cui

    \[\sin(x)=\dfrac{1}{2}\quad \vee \quad \sin(x)=-1,\]

cioè

    \[x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}, \quad x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}, \quad x=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.\]

Si conclude che la soluzione dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\, \dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\; \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\; \dfrac{3\pi}{2}+2k\pi ,\,k\in\mathbb{Z} \right\}.}\]

 

2)

Svolgimento. Osserviamo che la condizione di esistenza dell’equazione è data da

    \[\begin{cases} x \neq k\pi\\\\ x \neq \dfrac{k\pi}{2} \end{cases}\]

con k\in \mathbb{Z}. Il sistema ha come soluzione x \neq \dfrac{k\pi}{2} con k\in\mathbb{Z}.
Si ricorda che la cotangente è definita come

    \[\cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} \quad \forall x \in \mathbb{R}\setminus \{k\pi,\,k\in \mathbb{Z}\}.\]

Pertanto, l’equazione diventa

    \[\dfrac{\cos(2x)}{\sin(2x)}\cdot\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}=1.\]

Si ricorda che

    \[\begin{aligned} \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x) \quad \vee \quad \cos(2x)=1-2\sin^2(x). \end{aligned}\]

Nuovamente, l’equazione si può riscrivere come

    \[\dfrac{1-2\sin^2(x)}{2\sin(x)\cos(x)}\cdot\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}=1,\]

che, semplificando, diventa

    \[\dfrac{1-2\sin^2(x)}{2\sin^2(x)}=1.\]

Poniamo \sin x \neq 0. Moltiplicando ambo i membri dell’equazione per 2\sin^2(x) si ottiene

    \[1-2\sin^2(x)=2\sin^2(x)\quad \Leftrightarrow\quad 4\sin^2(x)=1\quad \Leftrightarrow\quad \sin^2(x)=\dfrac{1}{4}\quad \Leftrightarrow\quad \sin(x)=\pm\dfrac{1}{2},\]

da cui

    \[\sin(x)=\dfrac{1}{2} \quad \Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\quad \vee \quad x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\]

e

    \[\quad \quad \sin(x)=-\dfrac{1}{2} \quad \Leftrightarrow\quad x=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\quad \vee \quad x=\dfrac{11\pi}{6}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.\]

Si osservi che è possibile scrivere la soluzione generale in modo più compatto, in quanto, ad esempio, osservando che

    \[\dfrac{7\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}+\pi\]

e

    \[\dfrac{11\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}+\pi,\]

è chiaro che è possibile riscrivere la soluzione dell’equazione come segue

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x \in \mathbb{R}\setminus \left\{\dfrac{k\pi}{2},\,k\in \mathbb{Z}\right\}:\,x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\;x=\dfrac{5\pi}{6}+k\pi,\, \;k\in\mathbb{Z}\right\}. }\]

 

3)

Svolgimento. Scriviamo le regole di somma e sottrazione per il coseno

    \[\begin{aligned} &\cos\left(\alpha +\beta\right)=\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ,\\ &\cos\left(\alpha -\beta\right)=\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta , \end{aligned}\]

dove \alpha e \beta sono due numeri reali. Sottraendo ambo i membri delle due precedenti relazioni, si ottiene

    \[\cos\left(\alpha +\beta\right)-\cos\left(\alpha -\beta\right)=-2\sin \alpha \sin \beta.\]

Ora, impostando il seguente sistema

    \[\begin{cases} \alpha +\beta=4x\\ \alpha -\beta=2x, \end{cases}\]

si trova che

    \[\begin{cases} \alpha =3x\\ \beta =x, \end{cases}\]

e quindi, si ha

    \[\cos\left(4x\right)-\cos\left(2x\right)=-2\sin \left(3x\right) \sin \left(x\right);\]

dunque, l’equazione si riscrive come

    \[\cos(4x)-\cos(2x)=-2\sin \left(3x\right) \sin \left(x\right)=\sin(3x).\]

Abbiamo dunque

    \[-2\sin \left(3x\right) \sin \left(x\right)-\sin(3x)=0\quad \Leftrightarrow \quad \sin\left(3x\right)\left(2\sin x +1\right)=0,\]

da cui

    \[\sin\left(3x\right)=0\quad \Leftrightarrow \quad 3x=k\pi, \, k\in\mathbb{Z}\quad \vee \quad x=\dfrac{\pi}{3}k, \, k\in\mathbb{Z}\]

e

    \[2\sin x +1=0\quad \Leftrightarrow \quad \sin x=-\dfrac{1}{2}\quad \Leftrightarrow \quad x=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\quad \vee \quad x=\dfrac{11\pi}{6}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.\]

Si conclude che la soluzione dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\, x=\dfrac{\pi}{3}k,\,x=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi,\,x=\dfrac{11\pi}{6}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z} \right\}. }\]

 

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