Esercizio 41 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 41   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere le seguenti equazioni goniometriche

    \[(1)\quad 2(\cos(2x)+3)-1=3(1-\cos(2x))+2,\qquad (2)\quad 2(\tan(3x)-1)+\sqrt{3}=1-(2\tan(3x)+3(1-\tan(3x)).\]

 

1)

Svolgimento. Si ha

    \[\begin{aligned} &2(\cos(2x)+3)-1=3(1-\cos(2x))+2\quad \Leftrightarrow\quad 2\cos(2x)+6-1=3-3\cos(2x)+2\quad\Leftrightarrow\quad \\ &\Leftrightarrow\quad 5\cos(2x)=0\quad \Leftrightarrow\quad \cos(2x)=0\quad \Leftrightarrow \quad 2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}. \end{aligned}\]

Si conclude che la soluzione dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z} \right\}.}\]

 

2)

Svolgimento. Si ha

    \[\begin{aligned} &2(\tan(3x)-1)+\sqrt{3}=1-(2\tan(3x)+3(1-\tan(3x))\quad \Leftrightarrow\quad\\ &\Leftrightarrow\quad2\tan(3x)-2+\sqrt{3}=1-(2\tan(3x)+3-3\tan(3x))\quad \Leftrightarrow\quad\\ & \Leftrightarrow\quad2\tan(3x)-2+\sqrt{3}=1-2\tan(3x)-3+3\tan(3x)\Leftrightarrow\\ & \Leftrightarrow\quad\tan(3x)=-\sqrt{3}, \end{aligned}\]

da cui

    \[3x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z},\]

cioè

    \[x=-\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k\pi}{3},\;k\in\mathbb{Z}.\]

Si conclude che la soluzione dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=-\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k\pi}{3},\;k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]