Esercizio 40 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 40   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere le seguenti equazioni goniometriche

    \[(1)\quad 2\sin(x)-4=3,\qquad (2)\quad 2\sin\left(\dfrac{x}{3}\right)+\sqrt{3}=0,\qquad (3)\quad 2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(x\right)-\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\tan\left(\pi\right).\]

 

1)

Svolgimento. Si ha

    \[2\sin(x)-4=3\quad \Leftrightarrow\quad\sin(x)=4+3\quad\Leftrightarrow \quad2\sin(x)=7.\]

Dividiamo ambo i membri dell’equazione per 7, cioè

    \[2\sin(x)=7\quad \Leftrightarrow\quad \sin(x)=\dfrac{7}{2}.\]

Osserviamo che \dfrac{7}{2}>1, da cui si deduce che l’equazione è \textit{impossibile}, in quanto l’immagine della funzione \sin(x) è compresa nell’intervallo [-1,1]. Si conclude l’equazione è impossibile.

2)

Svolgimento.  Si ha

    \[2\sin\left(\dfrac{x}{3}\right)+\sqrt{3}=0\quad \Leftrightarrow\quad 2\sin\left(\dfrac{x}{3}\right)=-\sqrt{3}\quad\Leftrightarrow\quad \sin\left(\dfrac{x}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\]

da cui, restringendo lo studio delle radici dell’equazione in [0,2\pi], si ottiene

    \[\dfrac{x}{3}=\dfrac{7}{6}\pi \quad \vee \quad \dfrac{x}{3}=\dfrac{11}{6}\pi.\]

Ora, estendendo la ricerca delle radici dell’equazione in tutto \mathbb{R} e tenendo conto della periodicità della funzione seno, si ha

    \[\dfrac{x}{3}=\dfrac{4}{3}\pi +2k\pi\quad \quad \vee \quad \dfrac{x}{3}=\dfrac{5}{3}\pi+2k\pi,\]

con k\in\mathbb{Z}.
Quindi, in conclusione, moltiplicando ambo i membri delle due soluzioni per 3, si ottiene

    \[x=4\pi+6k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\quad\vee\quad x=5\pi+6k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.\]

Si conclude che la soluzione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=4\pi+6k\pi,\, x=5\pi+6k\pi,\;k\in\mathbb{Z} \right\}. }\]

3)

Svolgimento. Ricordiamo che

    \[\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2},\quad\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}\quad \text{e} \quad \tan\left(\pi\right)=0.\]

Quindi l’equazione diventa

    \[\sin(x)=\dfrac{1}{2},\]

da cui

    \[x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\quad\vee\quad x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.\]

Si conclude che la soluzione è

    \[\boxcolorato{analisi}{ \mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\, x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z} \right\}.}\]