Esercizio 4 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 4.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Verifica la seguente identità:

    \[\sin^4(\alpha)+\cos^4(\alpha)=1-2\cot^2(\alpha)\cdot\sin^4(\alpha).\]

 

Svolgimento.  Dalla regola fondamentale della goniometria si ottiene:

    \begin{align*} \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1 &\Longleftrightarrow (\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha))^2=1^2\\ &\Longleftrightarrow \sin^4(\alpha)+\cos^4(\alpha)+2\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)=1\\ &\Longleftrightarrow \sin^4(\alpha)+\cos^4(\alpha)=1-2\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha), \end{align*}

da cui

    \[1-2\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)=1-2\cot^2(\alpha)\cdot\sin^4(\alpha),\]

e ricordando che

    \[\cot^2(\alpha)=\left(\dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\right)^2=\dfrac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)},\]

si ha

    \[2\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)=2\left(\dfrac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}\right)\cdot\sin^4(\alpha),\]

semplificando il termine \sin^2(\alpha) nel membro di destra si ottiene la tesi.

Fonte: Corso base blu di matematica di Massimo Bergami-Anna Trifone-Graziella Barozzi