Esercizio 39 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 39  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). In una circonferenza di centro O la corda AB è uguale al lato del quadrato inscritto. Condotta per il punto B la semiretta tangente alla circonferenza che giace, rispetto ad AB, nel semipiano contenente il centro O, determinare sulla semiretta un punto P tale che si abbia:

    \[\frac{BA+AP}{BP}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.\]

 

 

Svolgimento.  Il problema è rappresentato in figura.

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Poiché OA=OB=r dove r è il raggio della circonferenza e dal momento che l’angolo A\widehat{O}B è retto, segue che AB=2\sqrt{r}. Inoltre, l’angolo che BP forma con il raggio OB è retto, mentre A\widehat{B}O=\pi/4, per cui A\widehat{B}P=\alpha=\pi/2+\pi/4=3\pi/4. Ne segue che, considerando il triangono ABP posto x=B\widehat{A}P, si ha B\widehat{P}A=\beta=\pi-\alpha-x.
Dal teorema dei seni abbiamo

    \[\frac{BP}{\sin x}=\frac{AB}{\sin\beta}=\frac{AP}{\sin\alpha},\]

e quindi

    \[BP=AB\cdot\frac{\sin x}{\sin(\alpha+x)},\qquad AP=AB\cdot\frac{1}{\sqrt{2}\sin(x+\alpha)}.\]

Ne segue

    \[\frac{BA+AP}{BP}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\quad \Leftrightarrow\quad \frac{AB+\displaystyle \frac{AB}{\sqrt{2}\sin(x+\alpha)}}{\dfrac{AB\sin x}{\sin(x+\alpha)}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},\]

da cui

    \[\dfrac{AB\left(\sqrt{2}\sin\left(x+\alpha\right)+1\right)}{\sqrt{2}\sin\left(x+\alpha\right)}\cdot\dfrac{\sin\left(x+\alpha\right)}{AB\sin x}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{\sqrt{2}\sin\left(x+\alpha\right)+1}{\sqrt{2}\sin x}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}},\]

cioè

    \[\sqrt{2}\sin(x+\alpha)+1=(\sqrt{3}+1)\sin x.\]

Poiché (ricordare il valore di \alpha)

    \[\sin(x+\alpha)=\sin x\cos\alpha+\cos x\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos x-\sin x),\]

l’equazione diviene

    \[\cos x-\sin x+1=(\sqrt{3}+1)\sin x,\]

o anche

    \[\cos x-(\sqrt{3}+2)\sin x+1=0.\]

Utilizzando l’espressione di seno e coseno in funzione di t=\tan(x/2) abbiamo

    \[\frac{1-t^2}{1+t^2}-\frac{2(\sqrt{3}+2)t}{1+t^2}+1=0,\]

e quindi

    \[2-2(\sqrt{3}+2)t=0\Longrightarrow t=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\dfrac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}.\]

Ne segue che (utilizzando una tabella degli angoli notevoli)

    \[\frac{x}{2}=\frac{\pi}{12},\qquad \frac{x}{2}=\frac{11\pi}{12},\]

e

    \[x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{11\pi}{6}.\]

La seconda soluzione va scartata, in quanto 0<x<\pi-\alpha=\pi/4, e quindi x=\pi/6 è l’unica soluzione.