Esercizio 38 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 38   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dimostrare che in un qualsiasi triangolo si ha

    \[a^2\cos \left(2\beta\right)-b^2\cos \left(2\alpha\right)=a^2-b^2\]

dove a,\,b,\,\alpha e \beta sono i dati in figura.

 

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Svolgimento. Dalla formula di duplicazione del coseno si ha

    \[a^2\cos 2\beta-b^2\cos 2\alpha=a^2\left( 1-2\sin^2\beta\right)-b^2\left( 1-2\sin^2\alpha\right)=a^2-2a^2\sin^2\beta-b^2+2b^2\sin^2\alpha=a^2-b^2+2(b^2\sin^2\alpha-a^2\sin^2\beta).\]

Dal teorema dei seni si ha poi

    \[\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}\quad\Longleftrightarrow\quad a\sin\beta=b\sin\alpha,\]

e quindi

    \[a^2\sin^2\alpha-b^2\sin^2\beta=0.\]

Ne segue la relazione cercata.

 

Fonte: ignota.