Esercizio 38 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 38 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dimostrare che in un qualsiasi triangolo si ha

$a^2\cos \left(2\beta\right)-b^2\cos \left(2\alpha\right)=a^2-b^2$

dove $a,\,b,\,\alpha$ e $\beta$ sono i dati in figura.

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Svolgimento. Dalla formula di duplicazione del coseno si ha

$a^2\cos 2\beta-b^2\cos 2\alpha=a^2\left( 1-2\sin^2\beta\right)-b^2\left( 1-2\sin^2\alpha\right)=a^2-2a^2\sin^2\beta-b^2+2b^2\sin^2\alpha=a^2-b^2+2(b^2\sin^2\alpha-a^2\sin^2\beta).$

Dal teorema dei seni si ha poi

$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}\quad\Longleftrightarrow\quad a\sin\beta=b\sin\alpha,$

e quindi

$a^2\sin^2\alpha-b^2\sin^2\beta=0.$

Ne segue la relazione cercata.

Fonte: ignota.

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