Esercizio 37 
. Sia 
il punto medio di un segmento 
. Su 
si costruisca il triangolo equilatero 
. Si conduca poi, nel semipiano opposto a quello del triangolo rispetto ad , una semiretta di origine 
che incontri in 
il prolungamento di 
. Si determini l’ampiezza 
dell’angolo 
in modo che si abbia 
.
Svolgimento. Consideriamo la figura seguente
Abbiamo, posto 
, pertanto si ha che
![\[\alpha=\frac{\pi}{3},\quad \beta=\pi-\alpha,\quad \gamma=\pi-(x+\alpha).\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8098f59f622a5726a51190cab61c8fb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dal teorema del coseno si ha
![\[BC^2=MB^2+MC^2-2 MB\cdot MC\cos\beta=a^2+a^2-2 a\cdot a\cos\left( \pi-\alpha\right)=2a^2(1+\cos\alpha)=3a^2\Longrightarrow BC=\sqrt{3} a.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-366b93f5e2d17b7997d81dfae161c2af_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dal teorema dei seni abbiamo poi
![\[\frac{BD}{\sin\alpha}=\frac{BM}{\sin\gamma}\Longrightarrow BD=a\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin(\pi-(x+\alpha))}= a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2\sin(x+\alpha)}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f6436f8f7092f05646be55c1746c2554_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Quindi
![\[3a^2=a^2\cdot\frac{3}{2\sin(x+\alpha)}\Longrightarrow \sin(x+\alpha)=\frac{1}{2}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d802ddf6021a1b201e46608d734b6baf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ma allora
![\[x+\alpha=\frac{\pi}{6},\qquad x+\alpha=\frac{5\pi}{6},\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-30ecf6fbf6e9f6d2745171f78f8a06b7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
da cui
![\[x=-\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{\pi}{2}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-12f0f2bb21d2a3929011ddf842e63a9d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La prima delle due soluzioni va scartata: quindi deve essere un angolo retto.
Fonte: ignota.