Esercizio 37 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 37   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia M il punto medio di un segmento AB. Su AM si costruisca il triangolo equilatero AMC. Si conduca poi, nel semipiano opposto a quello del triangolo AMC rispetto ad AB, una semiretta di origine B che incontri in D il prolungamento di CM. Si determini l’ampiezza x dell’angolo A\widehat{B}D in modo che si abbia 3 AM^2=BC\cdot BD.

 

Svolgimento. Consideriamo la figura seguente

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Abbiamo, posto AM=MB=MC=a, pertanto si ha che

    \[\alpha=\frac{\pi}{3},\quad \beta=\pi-\alpha,\quad \gamma=\pi-(x+\alpha).\]

Dal teorema del coseno si ha

    \[BC^2=MB^2+MC^2-2 MB\cdot MC\cos\beta=a^2+a^2-2 a\cdot a\cos\left( \pi-\alpha\right)=2a^2(1+\cos\alpha)=3a^2\Longrightarrow BC=\sqrt{3} a.\]

Dal teorema dei seni abbiamo poi

    \[\frac{BD}{\sin\alpha}=\frac{BM}{\sin\gamma}\Longrightarrow BD=a\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin(\pi-(x+\alpha))}= a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2\sin(x+\alpha)}.\]

Quindi

    \[3a^2=a^2\cdot\frac{3}{2\sin(x+\alpha)}\Longrightarrow \sin(x+\alpha)=\frac{1}{2}.\]

Ma allora

    \[x+\alpha=\frac{\pi}{6},\qquad x+\alpha=\frac{5\pi}{6},\]

da cui

    \[x=-\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{\pi}{2}.\]

La prima delle due soluzioni va scartata: quindi x deve essere un angolo retto.

 

Fonte: ignota.