Esercizio 35 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 35  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Nel triangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AC \`{e} minore del cateto AB e l’ipotenusa BC misura 2\ell. Per O, punto medio dell’ipotenusa, si tracci la perpendicolare all’ipotenusa stessa e sia M il suo punto di intersezione con il cateto AB. Determinare l’ampiezza x dell’angolo A\widehat{B}C in modo che si abbia AC\cdot OM=\ell^2.

 

Svolgimento. 

Consideriamo la figura:

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Dalle relazioni per i triangoli rettangoli, essendo OB=\ell, si ha

    \[AC=2\ell\sin x,\qquad OM=\ell\tan x.\]

Allora

    \[AC\cdot OM=\ell^2\quad \Leftrightarrow\quad \ell^2=2\ell^2\sin x\tan x=2\ell^2\left(\frac{\sin^2 x}{\cos x}\right)=2\ell^2\left(\frac{1-\cos^2 x}{\cos x}\right),\]

da cui, dovendo essere necessariamente \cos x\neq 0, in quanto 0<x<\pi/2,

    \[2\cos^2 x+\cos x-2=0.\]

Ponendo t=\cos x, si ottiene l’equazione algebrica 2t^2+t-2=0, le cui soluzioni sono

    \[t_1=\frac{-1-\sqrt{17}}{4},\qquad t_2=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}.\]

Ricordando la posizione fatta, e osservando che t_1<-1, ne segue

    \[\cos x=\frac{\sqrt{17}-1}{4},\]

da cui

    \[\boxcolorato{analisi}{x=\arccos\left(\frac{\sqrt{17}-1}{4}\right),}\]

che è l’angolo cercato.

 

Fonte: ignota.