Esercizio 35 
. Nel triangolo 
, rettangolo in 
, il cateto 
\`{e} minore del cateto 
e l’ipotenusa 
misura 
. Per 
, punto medio dell’ipotenusa, si tracci la perpendicolare all’ipotenusa stessa e sia 
il suo punto di intersezione con il cateto . Determinare l’ampiezza 
dell’angolo 
in modo che si abbia 
.
Svolgimento.
Consideriamo la figura:
Dalle relazioni per i triangoli rettangoli, essendo 
, si ha
![\[AC=2\ell\sin x,\qquad OM=\ell\tan x.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4c3f027a01f2073d6c5b808c46a1acf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Allora
![\[AC\cdot OM=\ell^2\quad \Leftrightarrow\quad \ell^2=2\ell^2\sin x\tan x=2\ell^2\left(\frac{\sin^2 x}{\cos x}\right)=2\ell^2\left(\frac{1-\cos^2 x}{\cos x}\right),\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5ea851959d3c74787ebbf1ac63ce4898_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
da cui, dovendo essere necessariamente 
, in quanto 
,
![\[2\cos^2 x+\cos x-2=0.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0552335ab39bdd6b5a66cb945d6bc3f0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ponendo 
, si ottiene l’equazione algebrica 
, le cui soluzioni sono
![\[t_1=\frac{-1-\sqrt{17}}{4},\qquad t_2=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c1446ad0e3d7091a76d47a81ee36bf4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ricordando la posizione fatta, e osservando che 
, ne segue
![\[\cos x=\frac{\sqrt{17}-1}{4},\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1f7fc0773f918937827f3061b850f29e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
da cui
![\[\boxcolorato{analisi}{x=\arccos\left(\frac{\sqrt{17}-1}{4}\right),}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-62458ba8cecabda43ec127503c7697d0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che è l’angolo cercato.
Fonte: ignota.