Esercizio 36 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 36   (\bigstar\bigstarr\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dimostrare che, se tra i tre angoli \alpha,\beta,\gamma di un triangolo vale la relazione \sin\alpha-2\sin\beta\cos\gamma=0, allora il triangolo è isoscele.

 

Svolgimento. In un qualsiasi triangolo, si ha \alpha=\pi-\beta-\gamma, da cui

    \[\sin\alpha=\sin(\pi-(\beta+\gamma))=\sin(\beta+\gamma)=\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\beta,\]

e quindi

    \[\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\beta-2\sin\beta\cos\gamma=0,\]

o anche

    \[\sin\gamma\cos\beta-\sin\beta\cos\gamma=0.\]

La formula precedente può riscriversi come \sin(\gamma-\beta)=0, da cui \gamma-\beta=0 e quindi \gamma=\beta. Ma allora il triangolo ha due angoli uguali e quindi anche due lati uguali. Ne segue che è isoscele.

Fonte: ignota.