Esercizio 36 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 36 $(\bigstar\bigstarr\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dimostrare che, se tra i tre angoli $\alpha,\beta,\gamma$ di un triangolo vale la relazione $\sin\alpha-2\sin\beta\cos\gamma=0$ , allora il triangolo è isoscele.

Svolgimento. In un qualsiasi triangolo, si ha $\alpha=\pi-\beta-\gamma$ , da cui

$\sin\alpha=\sin(\pi-(\beta+\gamma))=\sin(\beta+\gamma)=\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\beta,$

e quindi

$\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\beta-2\sin\beta\cos\gamma=0,$

o anche

$\sin\gamma\cos\beta-\sin\beta\cos\gamma=0.$

La formula precedente può riscriversi come $\sin(\gamma-\beta)=0$ , da cui $\gamma-\beta=0$ e quindi $\gamma=\beta$ . Ma allora il triangolo ha due angoli uguali e quindi anche due lati uguali. Ne segue che è isoscele.

Fonte: ignota.

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