Esercizio 34 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 34   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). In una semicirconferenza di diametro AB=2r è inscritto il triangolo ABC di perimetro r(2+\sqrt{6}). Determinare la misura degli angoli del triangolo.

 

Svolgimento. Consideriamo la seguente figura:

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E’ noto che un triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo. Quindi A\widehat{C}B=\pi/2. Indichiamo con x=C\widehat{A}B: ne segue che 0<x<\pi/2. Abbiamo allora

    \[BC=AB \sin x=2r\sin x,\qquad CA=AB \cos x=2r\cos x.\]

Possiamo scrivere quindi la seguente equazione:

    \[2r+2r\sin x+2r\cos x=r(2+\sqrt{6}).\]

Dobbiamo risolvere quindi l’equazione

    \[2\sin x+2\cos x=\sqrt{6},\]

che risulta lineare in seno e coseno. Passando allora all’espressione di queste due funzioni in termini di t=\tan(t/2) otteniamo (abbiamo applicato le formule parametriche)

    \[\frac{4t}{1+t^2}+\frac{2(1-t^2)}{1+t^2}=\sqrt{6},\]

da cui

    \[(2+\sqrt{6})t^2-4t+\sqrt{6}-2=0.\]

Poichè

    \[\Delta=16-4(6-4)=8,\]

le soluzioni dell’equazione sono

    \[t_{1/2}=\frac{4\pm2\sqrt{2}}{2(2+\sqrt{6})}=\frac{2\pm\sqrt{2}}{2+\sqrt{6}},\]

e quindi

    \[\tan\frac{x}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{6}}=\frac{4-2\sqrt{6}-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{-2}=\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-2,\]

    \[\tan\frac{x}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{6}}=\frac{4-2\sqrt{6}+2\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{-2}=\sqrt{6}+\sqrt{3}-\sqrt{2}-2\]

da cui

    \[\frac{x}{2}=\frac{\pi}{24},\qquad \frac{x}{2}=\frac{5\pi}{24},\]

cioè

    \[x=\frac{\pi}{12},\qquad x=\frac{5\pi}{12}.\]

Sapendo che

    \[C\widehat{A}B+C\widehat{B}A=\dfrac{\pi}{2},\]

si ha che

    \[\boxcolorato{analisi}{C\widehat{A}B=\frac{\pi}{12},\,C\widehat{B}A=\dfrac{5}{12}\pi,\qquad C\widehat{A}B=\frac{5}{12}\pi,\,C\widehat{B}A=\dfrac{1}{12}\pi.}\]

Fonte: ignota.