Esercizio 33 ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 33 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere le seguenti disequazioni:

$(1)\ 2\cos^2 x-5\cos x+2\geqslant 0,\quad (2)\ 4\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\cos x-\sqrt{6}<0,$

$(3)\ 2\cos 2x+2(\sqrt{3}-1)\sin x<2-\sqrt{3},\quad (4)\ \frac{\sin x(2\sin x-1)}{2\cos x+1}>0,$

$(5)\ \sqrt{3}\sin x+\cos x>0,\quad (6)\ \sin x-(2+\sqrt{3})\cos x<1.$

Svolgimento. $(1)$ Poniamo $t=\cos x$ , per cui la disequazione diviene

$2t^2-5t+2=2t^2-4t-t+2=2t(t-2)-(t-2)=(2t-1)(t-2)\geqslant 0.$

Le soluzioni dell’equazione algebrica associata sono $t_1=1/2$ e $t_2=2$ , da cui la soluzione della disequazione algebrica

$t\leqslant\frac{1}{2}\quad \vee \quad t\geqslant 2.$

Ritornando alla disequazione originale abbiamo

$\cos x\leqslant\frac{1}{2}\quad\vee \quad \cos x\geqslant 2.$

Si osserva che non esiste $x \in \mathbb{R}$ tale per cui risulti $\cos x \geq 2$ in quanto il coseno è una funzione limita e assume valori compresi di $-1$ e $1$ . Per la seconda la soluzione è

$\frac{\pi}{3}+2k\pi\leqslant x\leqslant\frac{5\pi}{3}+2k\pi,\,\, k\in\mathbb{Z},$

che è anche la soluzione dell’equazione originale.
Si conclude che la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{\pi}{3}+2k\pi\leqslant x\leqslant\frac{5\pi}{3}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}$

$(2)$ Possiamo usare nuovamente la variabile ausiliaria $t=\cos x$ , e trasformare la disequazione trigonometrica nella disequazione algebrica

$4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}<0.$

Poichè il suo discriminante è

$\Delta=4(3+2-2\sqrt{6})+4\cdot4\sqrt{6}=4(3+2+2\sqrt{6})=4(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2,$

le soluzioni dell’equazione algebrica associata sono

$t_{1/2}=\frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})\pm 2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{8},$

e quindi

$t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

La disequazione algebrica ha quindi soluzione

$-\frac{\sqrt{3}}{2}<t<\frac{\sqrt{2}}{2},$

che conduce a

$-\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos x<\frac{\sqrt{2}}{2},$

la quale equivale al sistema

$\left\{\begin{array}{l} \cos x>-\sqrt{3}/2\\ \\ \cos x<\sqrt{2}/2 \end{array}\right..$

Le disequazioni del sistema, nella circonferenza goniometrica, hanno soluzioni rispettivamente

$0\leqslant x<\frac{5\pi}{6}\quad \vee \quad \frac{7\pi}{6}<x\leqslant 2\pi,$

$\frac{\pi}{4}<x<\frac{7\pi}{4}.$

Graficamente si ha

Rendered by QuickLaTeX.com

da cui si deduce che la soluzione della disequazione originale nella circonferenza goniometrica è

$\frac{\pi}{4}<x<\frac{5\pi}{6},\quad \frac{7\pi}{6}<x<\frac{7\pi}{4},$

i.e.

$\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\quad \frac{7\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{7\pi}{4}+2k\pi,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Si conclude che la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\quad \frac{7\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{7\pi}{4}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}$

$(3)$ Utilizzando la formula di duplicazione del coseno nella forma

$\cos\left( 2x\right)=1-2\sin^2 x,$

la disequazione diventa

$4\sin^2 x-2(\sqrt{3}-1)\sin x-\sqrt{3}>0.$

Utilizzando questa volta la sostituzione $t=\sin x$ , e risolvendo la disequazione algebrica così ottenuta, si ha

$\sin x<-\frac{1}{2}\quad\vee \quad \sin x>\frac{\sqrt{3}}{2},$

le cui soluzioni sono, rispettivamente

$\frac{7\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{11\pi}{6}+2k\pi\quad\textrm{e}\quad\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\,\, k\in\mathbb{Z},$

che coincidono con le soluzioni dell’equazione originale.
Si conclude che la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{7\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{11\pi}{6}+2k\pi\quad\textrm{e}\quad\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}$

$(4)$ Risolviamo separatamente ciascuna delle disequazioni in $x\in [0,2\pi]$ :

$\begin{aligned} &\sin x>0\quad\Longleftrightarrow\quad 0<x<\pi;\\ &2\sin x-1>0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6};\\ &2\cos x+1>0\quad\Longleftrightarrow\quad 0\leqslant x<\frac{2\pi}{3}\quad\vee \quad \frac{4\pi}{3}<x\leqslant 2\pi. \end{aligned}$

Possiamo costruire il seguente grafico per le soluzioni:

Rendered by QuickLaTeX.com

da cui deduciamo la soluzione della disequazione:

$\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\quad \frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\pi,\quad \frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<2\pi+2k\pi,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Si conclude che la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\quad \frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\pi,\quad \frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<2\pi+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}$

$(5)$ Si ha

$\sqrt{3}\sin x +\cos x=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x +\dfrac{1}{2}\cos x\right)=2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos x+\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin x \right)=2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)>0$

da cui

$-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi<x-\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\,\,k\in\mathbb{Z},$

cioè

$-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi<x-\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\quad \Leftrightarrow\quad -\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}+2k\pi<x<\dfrac{\pi}{2}+2k\pi+\dfrac{\pi}{3}\quad \Leftrightarrow\quad -\dfrac{\pi}{6}+2k\pi<x<\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi.$

Si conclude che la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi<x<\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}$

$(6)$ Applichiamo le formule parametriche e otteniamo

$\sin x-(2+\sqrt{3})\cos x=\dfrac{2t}{1-t^2}-\left(2+\sqrt{3}\right)\left(\dfrac{2t}{1-t^2}\right)<1$

cioè

$\frac{2t-(2+\sqrt{3})(1-t^2)-(1+t^2)}{1+t^2}<0.$

Osserviamo che $1+t^2>0$ per ogni valore di $t$ e quindi per ogni valore di $x$ eccetto per $x=\pi+2k\pi$ (valori per i quali $\tan(x/2)$ non è definita) con $k\in\mathbb{Z}$ . Osserviamo tuttavia che

$\sin \pi-(2+\sqrt{3})\cos \pi=2+\sqrt{3}>1,$

quindi i punti $x=\pi+2k\pi$ non fanno parte della soluzione. Ora l’equazione algebrica si può scrivere

$(1+\sqrt{3})t^2+2t-(3+\sqrt{3})<0,$

o anche, moltiplicando tutto per $\sqrt{3}-1$ e semplificando,

$t^2+(\sqrt{3}-1)t-\sqrt{3}=t^2+\sqrt{3}t-t-\sqrt{3}=t\left(t+\sqrt{3}\right)-\left(t+\sqrt{3}\right)=(t-1)(t+\sqrt{3})<0.$

Le soluzioni di questa disequazione sono

$-\sqrt{3}<t<1,$

che conducono a

$-\sqrt{3}<\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)<1\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} \tan\left(\dfrac{x}{2}\right)<1\\\\ \tan\left(\dfrac{x}{2}\right)>-\sqrt{3}. \end{cases}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} -\dfrac{\pi}{2}+k\pi<x<\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\\\ -\dfrac{\pi}{3}+k\pi<x<\dfrac{\pi}{2}+k\pi \end{cases} .$

con $k\in\mathbb{Z}$ . Svolgendo i calcoli, e riducendo lo studio per $x\in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ per semplicità, si ottiene il seguente grafico

Rendered by QuickLaTeX.com

da cui si deduce la soluzione

$-\dfrac{\pi}{3}<x<\dfrac{\pi}{4},$

e tenendo conto della periodicità della tangente, ovvero $T=k\pi$ , si trova la soluzione generale della disequazione

$-\dfrac{\pi}{3}+k\pi<x<\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\,\,k\in\mathbb{Z}.$

Si conclude che la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:-\dfrac{\pi}{3}+k\pi<x<\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}$

Fonte: ignota.

Alessio Fulvi

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