Esercizio 33 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 33   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere le seguenti disequazioni:

    \[(1)\ 2\cos^2 x-5\cos x+2\geqslant 0,\quad (2)\ 4\cos^2 x+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\cos x-\sqrt{6}<0,\]

    \[(3)\ 2\cos 2x+2(\sqrt{3}-1)\sin x<2-\sqrt{3},\quad (4)\ \frac{\sin x(2\sin x-1)}{2\cos x+1}>0,\]

    \[(5)\ \sqrt{3}\sin x+\cos x>0,\quad (6)\ \sin x-(2+\sqrt{3})\cos x<1.\]

 

Svolgimento.  (1) Poniamo t=\cos x, per cui la disequazione diviene

    \[2t^2-5t+2=2t^2-4t-t+2=2t(t-2)-(t-2)=(2t-1)(t-2)\geqslant 0.\]

Le soluzioni dell’equazione algebrica associata sono t_1=1/2 e t_2=2, da cui la soluzione della disequazione algebrica

    \[t\leqslant\frac{1}{2}\quad \vee \quad t\geqslant 2.\]

Ritornando alla disequazione originale abbiamo

    \[\cos x\leqslant\frac{1}{2}\quad\vee \quad \cos x\geqslant 2.\]

Si osserva che non esiste x \in \mathbb{R} tale per cui risulti \cos x \geq 2 in quanto il coseno è una funzione limita e assume valori compresi di -1 e 1. Per la seconda la soluzione è

    \[\frac{\pi}{3}+2k\pi\leqslant x\leqslant\frac{5\pi}{3}+2k\pi,\,\, k\in\mathbb{Z},\]

che è anche la soluzione dell’equazione originale.
Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{\pi}{3}+2k\pi\leqslant x\leqslant\frac{5\pi}{3}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

 

(2) Possiamo usare nuovamente la variabile ausiliaria t=\cos x, e trasformare la disequazione trigonometrica nella disequazione algebrica

    \[4t^2+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})t-\sqrt{6}<0.\]

Poichè il suo discriminante è

    \[\Delta=4(3+2-2\sqrt{6})+4\cdot4\sqrt{6}=4(3+2+2\sqrt{6})=4(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2,\]

le soluzioni dell’equazione algebrica associata sono

    \[t_{1/2}=\frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})\pm 2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{8},\]

e quindi

    \[t_1=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad t_2=\frac{\sqrt{2}}{2}.\]

La disequazione algebrica ha quindi soluzione

    \[-\frac{\sqrt{3}}{2}<t<\frac{\sqrt{2}}{2},\]

che conduce a

    \[-\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos x<\frac{\sqrt{2}}{2},\]

la quale equivale al sistema

    \[\left\{\begin{array}{l} \cos x>-\sqrt{3}/2\\ \\ \cos x<\sqrt{2}/2 \end{array}\right..\]

Le disequazioni del sistema, nella circonferenza goniometrica, hanno soluzioni rispettivamente

    \[0\leqslant x<\frac{5\pi}{6}\quad \vee \quad \frac{7\pi}{6}<x\leqslant 2\pi,\]

e

    \[\frac{\pi}{4}<x<\frac{7\pi}{4}.\]

Graficamente si ha

Rendered by QuickLaTeX.com

da cui si deduce che  la soluzione della disequazione originale nella circonferenza goniometrica è

    \[\frac{\pi}{4}<x<\frac{5\pi}{6},\quad \frac{7\pi}{6}<x<\frac{7\pi}{4},\]

i.e.

    \[\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\quad \frac{7\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{7\pi}{4}+2k\pi,\,\, k\in\mathbb{Z}.\]

Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\quad \frac{7\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{7\pi}{4}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

 

(3) Utilizzando la formula di duplicazione del coseno nella forma

    \[\cos\left( 2x\right)=1-2\sin^2 x,\]

la disequazione diventa

    \[4\sin^2 x-2(\sqrt{3}-1)\sin x-\sqrt{3}>0.\]

Utilizzando questa volta la sostituzione t=\sin x, e risolvendo la disequazione algebrica così ottenuta, si ha

    \[\sin x<-\frac{1}{2}\quad\vee \quad \sin x>\frac{\sqrt{3}}{2},\]

le cui soluzioni sono, rispettivamente

    \[\frac{7\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{11\pi}{6}+2k\pi\quad\textrm{e}\quad\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\,\, k\in\mathbb{Z},\]

che coincidono con le soluzioni dell’equazione originale.
Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{7\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{11\pi}{6}+2k\pi\quad\textrm{e}\quad\frac{\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

 

(4) Risolviamo separatamente ciascuna delle disequazioni in x\in [0,2\pi]

    \[\begin{aligned} &\sin x>0\quad\Longleftrightarrow\quad 0<x<\pi;\\ &2\sin x-1>0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6};\\ &2\cos x+1>0\quad\Longleftrightarrow\quad 0\leqslant x<\frac{2\pi}{3}\quad\vee \quad \frac{4\pi}{3}<x\leqslant 2\pi. \end{aligned}\]

Possiamo costruire il seguente grafico per le soluzioni:

Rendered by QuickLaTeX.com

da cui deduciamo la soluzione della disequazione:

    \[\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\quad \frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\pi,\quad \frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<2\pi+2k\pi,\,\, k\in\mathbb{Z}.\]

Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\quad \frac{5\pi}{6}+2k\pi<x<\pi,\quad \frac{4\pi}{3}+2k\pi<x<2\pi+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

 

(5) Si ha

    \[\sqrt{3}\sin x +\cos x=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x +\dfrac{1}{2}\cos x\right)=2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos x+\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin x \right)=2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)>0\]

da cui

    \[-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi<x-\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\,\,k\in\mathbb{Z},\]

cioè

    \[-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi<x-\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\quad \Leftrightarrow\quad -\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}+2k\pi<x<\dfrac{\pi}{2}+2k\pi+\dfrac{\pi}{3}\quad \Leftrightarrow\quad -\dfrac{\pi}{6}+2k\pi<x<\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi.\]

Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi<x<\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

 

 

(6) Applichiamo le formule parametriche e otteniamo

    \[\sin x-(2+\sqrt{3})\cos x=\dfrac{2t}{1-t^2}-\left(2+\sqrt{3}\right)\left(\dfrac{2t}{1-t^2}\right)<1\]

cioè

    \[\frac{2t-(2+\sqrt{3})(1-t^2)-(1+t^2)}{1+t^2}<0.\]

Osserviamo che 1+t^2>0 per ogni valore di t e quindi per ogni valore di x eccetto per x=\pi+2k\pi (valori per i quali \tan(x/2) non è definita) con k\in\mathbb{Z}. Osserviamo tuttavia che

    \[\sin \pi-(2+\sqrt{3})\cos \pi=2+\sqrt{3}>1,\]

quindi i punti x=\pi+2k\pi non fanno parte della soluzione. Ora l’equazione algebrica si può scrivere

    \[(1+\sqrt{3})t^2+2t-(3+\sqrt{3})<0,\]

o anche, moltiplicando tutto per \sqrt{3}-1 e semplificando,

    \[t^2+(\sqrt{3}-1)t-\sqrt{3}=t^2+\sqrt{3}t-t-\sqrt{3}=t\left(t+\sqrt{3}\right)-\left(t+\sqrt{3}\right)=(t-1)(t+\sqrt{3})<0.\]

Le soluzioni di questa disequazione sono

    \[-\sqrt{3}<t<1,\]

che conducono a

    \[-\sqrt{3}<\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)<1\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} \tan\left(\dfrac{x}{2}\right)<1\\\\ \tan\left(\dfrac{x}{2}\right)>-\sqrt{3}. \end{cases}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} -\dfrac{\pi}{2}+k\pi<x<\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\\\ -\dfrac{\pi}{3}+k\pi<x<\dfrac{\pi}{2}+k\pi \end{cases} .\]

con k\in\mathbb{Z}. Svolgendo i calcoli, e riducendo lo studio per x\in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] per semplicità, si ottiene il seguente grafico

Rendered by QuickLaTeX.com

da cui si deduce la soluzione

    \[-\dfrac{\pi}{3}<x<\dfrac{\pi}{4},\]

e tenendo conto della periodicità della tangente, ovvero T=k\pi, si trova la soluzione generale della disequazione

    \[-\dfrac{\pi}{3}+k\pi<x<\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\,\,k\in\mathbb{Z}.\]

Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:-\dfrac{\pi}{3}+k\pi<x<\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

 

Fonte: ignota.