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Esercizio 29 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 29  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere l’equazione simmetrica

    \[\sin x+\cos x-2\sqrt{2}\sin x\cos x=0.\]

 

Svolgimento.  Operando la sostituzione x=\pi/4+y otteniamo l’equazione

    \[\sqrt{2}\cos y-\sqrt{2}(\cos^2 y-\sin^2 y)=0\Longleftrightarrow 2\cos^2 y-\cos y-1=0,\]

da cui

    \[\cos y=1,\qquad \cos y=-\frac{1}{2}.\]

le soluzioni sono

    \[y=2k\pi,\qquad y=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\]

e quindi per x abbiamo

    \[x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\qquad x=\frac{11\pi}{12}+2k\pi,\qquad x=-\frac{5\pi}{12}+2k\pi.\]

Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\,\, x=\frac{11\pi}{12}+2k\pi,\,\, x=-\frac{5\pi}{12}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.\]

Altrimenti si poteva riscrivere l’equazione come segue

    \[\begin{aligned} &\sin x+\cos x-2\sqrt{2}\sin x\cos x=0\quad \Leftrightarrow\quad \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)-\sqrt{2}\left(2\sin x\cos x\right)=0\quad \Leftrightarrow\quad \\ &\Leftrightarrow\quad\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\sin x+\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\cos x\right)-\sqrt{2}\left(2\sin x\cos x\right)=0\quad \Leftrightarrow\quad\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-\sqrt{2}\sin\left(2x\right)=0\quad \Leftrightarrow\quad\\ & \Leftrightarrow\quad\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(2x\right). \end{aligned}\]

Ci siamo ricondotti alle stesse scritture dell’esercizio 26 (Clicca qui) da qui in poi basta ripercorrere gli stessi passi.

Fonte: ignota.