Esercizio 28 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 28   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere le seguenti equazioni lineari in seno e coseno:

    \[(1)\quad \sqrt{3}\sin x-\cos x=1,\qquad (2)\quad \sqrt{3}\sin x+\cos x=\sqrt{3},\qquad (3)\quad\sqrt{3}\sin x +\cos x=\sqrt{3}.\]

 

Premessa. Prima di procedere alla soluzione degli esercizi proposti, facciamo presente al lettore che questo tipo di equazioni si chiamano equazioni lineare in seno e coseno, ed è possibile risolverle con tre metodi differenti: il metodo algebrico, il metodo grafico e il metodo dell’angolo aggiunto. Di seguito il lettore troverà proposti i tre diversi metodi risolutivi.

Svolgimento. (1) Applichiamo le formule parametriche e otteniamo

    \[\sqrt{3}\left(\dfrac{2t}{1+t^2}\right)-\dfrac{1-t^2}{1+t^2}=1\]

da cui, svolgendo i calcoli, si ottiene

    \[2\sqrt{3}t-2=0,\qquad t=\tan\frac{x}{2},\]

cioè

    \[\tan\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3},\quad \Leftrightarrow \quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}.\]

Si ricorda che le formule parametriche sono valide per \alpha \neq \pi+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}, pertanto dobbiamo verificare se \alpha=\pi+k\pi conk\in\mathbb{Z} è soluzione dell’equazione. Sostituiamo x=\pi+2k\pi in (1) e osserviamo che l’equazione risulta essere soddisfatta, da cui si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\,\, x=\pi+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

 

(2) Possiamo risolvere l’equazione mediante il sistema

    \[\left\{\begin{array}{l} \sqrt{3}Y+X=\sqrt{3}\\ X^2+Y^2=1 \end{array}\right.\qquad Y=\sin x,\quad X=\cos x.\]

Dalla prima equazione del sistema si ottiene X=\sqrt{3}(1-Y), sostituendo nella seconda equazione otteniamo

    \[4Y^2-6Y+2=0\quad \Leftrightarrow \quad 2Y^2-3Y+1=0,\]

le cui soluzioni sono Y=1 e Y=1/2. Le soluzioni del sistema sono allora

    \[\left\{\begin{array}{l} \sin x=1\\ \cos x=0 \end{array}\right.\quad \vee \quad \left\{\begin{array}{l} \sin x=1/2\\ \cos x=\sqrt{3}/2 \end{array}\right.,\]

da cui le soluzioni

    \[x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\]

con k\in\mathbb{Z}. Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\,\, x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

 

Riscriviamo (3) come segue

    \[\begin{aligned} &\sqrt{3}\sin x +\cos x=\sqrt{3}\quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x +\dfrac{1}{2}\cos x =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad \Leftrightarrow\quad\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin x +\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos x =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ &\Leftrightarrow\quad\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad \Leftrightarrow\quad\dfrac{\pi}{3}-x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\,\,k\in\mathbb{Z}. \end{aligned}\]

Abbiamo dunque

    \[\dfrac{\pi}{3}-x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\quad \vee \quad \dfrac{\pi}{3}-x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\]

cioè

    \[x=\dfrac{\pi}{6}-2k\pi\quad \vee \quad x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi.\]

Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:x=\dfrac{\pi}{6}-2k\pi\quad \vee \quad x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

 

Fonte: ignota.