Esercizio 27 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 27   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere le seguenti equazioni omogenee in seno e coseno:

    \[(1)\quad \sqrt{3}\tan x-1=0=0,\qquad (2)\quad \sin 2x+5\sin^2 x=0,\]

    \[(3)\quad (\sqrt{3}-1)\sin x\cos x+(\sqrt{3}+1)\cos^2 x-1=0.\]

 

Svolgimento. (1) Riscriviamo l’equazione come segue

    \[\sqrt{3}\tan x-1=0\quad \Leftrightarrow\quad\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3},\]

le cui soluzioni sono

    \[x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}.\]

Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

(2) Possiamo scrivere, usando la formula di duplicazione del seno

    \[2\sin x\cos x+5\sin^2 x=0\quad \Leftrightarrow\quad \sin x(2\cos x+5\sin x)=0,\]

da cui le due equazioni

    \[\sin x=0,\qquad 5\sin x+2\cos x=0.\]

La soluzione della prima è

    \[x=k\pi\]

con k\in\mathbb{Z}, mentre la seconda equivale alla

    \[2\tan x+5=0\quad \Leftrightarrow\quad \tan x=-\frac{5}{2},\]

le cui soluzioni sono

    \[x=\arctan\left(-\frac{5}{2}\right)+k\pi, \,\,k\in\mathbb{Z}.\]

Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:x=\arctan\left(-\frac{5}{2}\right)+k\pi,\,\,x=k\pi,\,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

(3) Riscriviamo (3) utilizzando la formula fondamentale: l’equazione diventa

    \[(\sqrt{3}-1)\sin x\cos x+\sqrt{3}\cos^2 x-\sin^2 x=0,\]

la quale, dividendo per \cos^2 x, equivale alla

    \[\begin{aligned} &\tan^2 x-(\sqrt{3}-1)\tan x-\sqrt{3}=0\quad \Leftrightarrow \quad \tan^2 x -\sqrt{3} \tan x +\tan x-\sqrt{3} =0\quad \Leftrightarrow \quad\\ & \Leftrightarrow \quad\tan x \left(\tan x -\sqrt{3}\right)+\left(\tan x -\sqrt{3}\right)=0\quad \Leftrightarrow \quad\left(\tan x +1\right)\left(\tan x -\sqrt{3}\right)=0. \end{aligned}\]

E’ importante notare che per dividere per \cos^2 x bisogna porre \cos x \neq 0, cioè x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi con k\in \mathbb{Z}. In particolare x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi non è soluzione dell’equazione. Dunque dopo aver diviso per \cos^2 x abbiamo ottenuto una nuova equazione che ha come soluzione

    \[\tan x=-1,\qquad \tan x=\sqrt{3},\]

da cui le soluzioni

    \[x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad x=\frac{\pi}{3}+k\pi\]

con \,k\in\mathbb{Z}.
Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,\,\, x=\frac{\pi}{3}+k\pi.,\,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

 

Fonte: ignota.