Esercizio 25 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 25   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere le seguenti equazioni elementari:

    \[(1)\quad \sin x=\frac{1}{2},\qquad (2)\quad \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad (3)\quad |\sin x|=\frac{\sqrt{2}}{2},\]

    \[(4)\quad 2\cos^2 x-5\cos x+2=0,\qquad (5)\quad\sqrt{3}\tan x-1=0.\]

 

Svolgimento. (1) Le soluzioni dell’equazione nella circonferenza trigonometrica con 0\leqslant x\leqslant 2\pi sono x=\pi/6 e x=\pi-\pi/6=5\pi/6, e quindi la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\,\, x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

 

(2) Le soluzioni dell’equazione nella circonferenza trigonometrica con 0\leqslant x\leqslant 2\pi sono x=-\pi/3 e x=4\pi/3,e quindi la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\,\, x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

(3) L’equazione si divide nelle due equazioni

    \[\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\]

La prima nella circonferenza trigonometrica con 0\leqslant x\leqslant 2\pi ha soluzioni x=\pi/4 e x=3\pi/4, mentre la seconda nella circonferenza trigonometrica con 0\leqslant x\leqslant 2\pi ha soluzioni x=-\pi/4 e x=5\pi/4. Quindi tenendo conto della periodicità della funzione seno si ha che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\, x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\, x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\, x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

Osserviamo che ognuna delle soluzioni si può ottenere dalla prima sommando ogni volta un multiplo di \pi/2. Quindi la soluzione \mathcal{S} dell’equazione può essere riscritta come segue

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

(4) Ponendo t=\cos x otteniamo l’equazione

    \[2t^2-5t+2=0,\]

le cui soluzioni sono t=2 e t=1/2 (le soluzione si possono ottenere ad esempio applicando la formula risolutiva). Tornando al coseno, abbiamo

    \[\cos x=2\quad \Rightarrow \nexists\ x\in\mathbb{R},\]

    \[\cos x=\frac{1}{2}\Longrightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi.\]

Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

(5) L’equazione diventa

    \[\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},\]

le cui soluzioni sono

    \[x=\frac{\pi}{6}+k\pi.\]

Si conclude che la soluzione \mathcal{S} dell’equazione è

    \[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}\]

Fonte: ignota.