Esercizio 25 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso di Goniometria e Trigonometria – Formule ed esercizi risolti

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Esercizio 25 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere le seguenti equazioni elementari:

$(1)\quad \sin x=\frac{1}{2},\qquad (2)\quad \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad (3)\quad |\sin x|=\frac{\sqrt{2}}{2},$

$(4)\quad 2\cos^2 x-5\cos x+2=0,\qquad (5)\quad\sqrt{3}\tan x-1=0.$

Svolgimento. $(1)$ Le soluzioni dell’equazione nella circonferenza trigonometrica con $0\leqslant x\leqslant 2\pi$ sono $x=\pi/6$ e $x=\pi-\pi/6=5\pi/6$ , e quindi la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\,\, x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}$

$(2)$ Le soluzioni dell’equazione nella circonferenza trigonometrica con $0\leqslant x\leqslant 2\pi$ sono $x=-\pi/3$ e $x=4\pi/3$ ,e quindi la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\,\, x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}$

$(3)$ L’equazione si divide nelle due equazioni

$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

La prima nella circonferenza trigonometrica con $0\leqslant x\leqslant 2\pi$ ha soluzioni $x=\pi/4$ e $x=3\pi/4$ , mentre la seconda nella circonferenza trigonometrica con $0\leqslant x\leqslant 2\pi$ ha soluzioni $x=-\pi/4$ e $x=5\pi/4$ . Quindi tenendo conto della periodicità della funzione seno si ha che la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{S}=\left\{x\in\mathbb{R}:\,x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\, x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\, x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\, x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}.}$

Osserviamo che ognuna delle soluzioni si può ottenere dalla prima sommando ogni volta un multiplo di $\pi/2$ . Quindi la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione può essere riscritta come segue