Esercizio 17 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 17   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Semplificare la seguente espressione:

    \[\dfrac{\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)\cdot\cos\left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)}{\cos(2\alpha)}.\]

 

Svolgimento. Per prima cosa applichiamo l’opportuna formula di Werner al numeratore:

    \[\begin{aligned} &\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)\cdot\cos\left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)=\\ &=\dfrac {1}{2} \left( \cos\left( \left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)+\left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)\right) + \cos\left(\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)-\left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)\right)=\\ &=\dfrac {1}{2} \left(\cos(2\alpha)+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)= \dfrac {1}{2}\left(\cos(2\alpha)+0\right)=\dfrac{\cos(2\alpha)}{2}, \end{aligned}\]

e sostituendo nell’espressione iniziale otteniamo

    \[\dfrac{\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)\cdot\cos\left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)}{\cos(2\alpha)}= \dfrac{\dfrac{\cos(2\alpha)}{2}}{\cos(2\alpha)}= \dfrac{\cos(2\alpha)}{2\cos(2\alpha)}=\dfrac{1}{2}.\]

 

Fonte: Corso base blu di matematica di Massimo Bergami-Anna Trifone-Graziella Barozzi