Esercizio 13 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 13   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dimostrare che

    \[\sin(75^\circ)+\cos(165^\circ)=0.\]

 

Svolgimento.  Osserviamo quanto segue

    \[\cos\left(165^\circ\right)=\cos\left(90^\circ+75^\circ\right)=-\sin\left(75^\circ\right),\]

da cui

    \[\sin(75^\circ)+\cos(165^\circ)=\sin(75^\circ)-\sin\left(75^\circ\right)=0,\]

cioè la tesi.

Altrimenti si possono applicare le formule di bisezione nel seguente modo:

    \[\begin{aligned} \sin(75)&=\sin\left(\dfrac{250}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1-\cos(150)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}{2}}=\\ &=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}= \sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}= \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} \end{aligned}\]

e

    \[\begin{aligned} \cos(165)&=\cos\left(\dfrac{330}{2}\right)=-\sqrt{\dfrac{1+\cos(330)}{2}}=-\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\\ &=-\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}=-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}, \end{aligned}\]

da cui

    \[\sin(75)+\cos(105)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=0,\]

cioè la tesi.

 

Fonte: Corso base blu di matematica di Massimo Bergami-Anna Trifone-Graziella Barozzi