Esercizio 11 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 11   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).Verifica la seguente identità

    \[\sin(\alpha)\cos(2\alpha)-\cos(\alpha)\sin(2\alpha)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right).\]

 

Svolgimento. Si osserva che

  • \sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha);
  • \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin(\alpha)

sostituendo nell’equazione iniziale otteniamo

    \[\begin{aligned} &\sin(\alpha)\cos(2\alpha)-\cos(\alpha)\sin(2\alpha)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)\quad \Leftrightarrow \quad \\ &\quad \Leftrightarrow \quad \sin(\alpha)\cos(2\alpha)-\cos(\alpha)2\sin(\alpha)\cos(\alpha)=-\sin(\alpha)\quad \Leftrightarrow \quad \\ &\quad \Leftrightarrow \quad \sin(\alpha)\cos(2\alpha)-2\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)=-\sin(\alpha). \end{aligned}\]

Sostituiamo \cos(2\alpha)=2\cos^2(\alpha)-1 e otteniamo:

    \[\begin{aligned} &\sin(\alpha)\cos(2\alpha)-2\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)=-\sin(\alpha)\quad \Leftrightarrow \quad\\ &\quad \Leftrightarrow \quad\sin(\alpha)(2\cos^2(\alpha)-1)-2\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)=-\sin(\alpha)\quad \Leftrightarrow \quad\\ &\quad \Leftrightarrow \quad2\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)-\sin(\alpha)-2\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)=-\sin(\alpha)\quad \Leftrightarrow \quad\\ &-\sin \left(\alpha\right)=-\sin \alpha, \end{aligned}\]

cioè la tesi.

 

Fonte: Corso base blu di matematica di Massimo Bergami-Anna Trifone-Graziella Barozzi