Esercizio 10 ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione:

$\cot(\pi-\alpha)\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)+2\dfrac{\sin(-\alpha)\cos(10\pi-\alpha)}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\left(\alpha-\dfrac{11\pi}{2}\right)}.$

Svolgimento. Prima di procedere alla risoluzione dell’espressione è utile fare una piccola premessa. In alcuni casi è possibile applicare sia le formule di addizione o sottrazione che quelle relative agli archi associati, ad esempio:

$\begin{aligned} \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin(\alpha)\hspace{5cm} \end{aligned}$

oppure

$\begin{aligned} \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)&=\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\cos(\alpha)-\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\sin(\alpha)=0\cdot\cos(\alpha)-(-1)\cdot\sin(\alpha)=\sin(\alpha). \end{aligned}$

Nonostante sia generalmente più semplice utilizzare le formule relative agli archi associati, in questo esercizio spesso useremo le formule di addizione o sottrazione per motivi didattici; iniziamo con le semplificazioni:

$\begin{aligned} &\bullet \cot(\pi-\alpha)=\dfrac{\cos(\pi-\alpha)}{\sin(\pi-\alpha)}= \dfrac{\cos(\pi)\cos(\alpha)+\sin(\pi)\sin(\alpha)}{\sin(\pi)\cos(\alpha)-\cos(\pi)\sin(\alpha)}=\\ &\hspace{3.5mm}= \dfrac{-1\cdot\cos(\alpha)+0\cdot\sin(\alpha)}{0\cdot\cos(\alpha)-(-1)\cdot\sin(\alpha)}= -\dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)};\\ &\bullet \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin(\alpha) \text{(come nella nota)}; \\ &\bullet\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha);\\ &\bullet\cos(10\pi-\alpha)=\cos(-\alpha)=\cos(\alpha);\\ & \bullet\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cos(\alpha)-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\sin(\alpha)=1\cdot\cos(\alpha)-0\cdot\sin(\alpha)=\cos(\alpha);\\ &\bullet \cos\left(\alpha-\dfrac{11\pi}{2}\right)=\cos\left(\alpha-\dfrac{3\pi}{2}-\dfrac{8\pi}{2}\right)=\cos\left(\alpha-\dfrac{3\pi}{2}-4\pi\right)=\cos\left(\alpha-\dfrac{3\pi}{2}\right)\\ &=\cos(\alpha)\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)+\sin(\alpha)\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=\cos(\alpha)\cdot0+\sin(\alpha)\cdot(-1)=-\sin(\alpha); \end{aligned}$

Adesso torniamo all’espressione e sostituiamo tutti i valori trovati, ottenendo:

$\begin{aligned} &\cot(\pi-\alpha)\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)+2\dfrac{\sin(-\alpha)\cos(10\pi-\alpha)}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\left(\alpha-\dfrac{11\pi}{2}\right)}=\\ &=-\dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\sin(\alpha)+2\dfrac{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)(-\sin(\alpha))}=2-\cos(\alpha). \end{aligned}$

Fonte: Corso base blu di matematica di Massimo Bergami-Anna Trifone-Graziella Barozzi