Esercizio 1 ripasso goniometria e trigonometria

Ripasso goniometria e trigonometria

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Esercizio 1.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Verifica la seguente identità:

    \[\left(\sin(\alpha)+\cos(\alpha)\right)^2-1=2\sin(\alpha)\cos(\alpha).\]

 

Svolgimento. Per prima cosa calcoliamo il quadrato presente nel membro a sinistra sviluppando il quadrato di binomio:

    \[(\sin(\alpha)+\cos(\alpha))^2=\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)+2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\]

l’identità diventa

    \[\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)+2\sin(\alpha)\cos(\alpha)-1=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\]

sottraendo il termine 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) da entrambi i membri, sfruttando la proprietà invariantiva delle equazioni, si ottiene

    \[\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)-1=0\]

e sfruttando l’identità fondamentale della trigonometria otteniamo

(1)   \begin{align*} \underbrace{\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)}_{=1}-1=0 \Longleftrightarrow 1-1=0\Longleftrightarrow 0=0 \end{align*}

da cui la tesi.

Fonte: Corso base blu di matematica di Massimo Bergami-Anna Trifone-Graziella Barozzi