Esercizio 1 ripasso goniometria e trigonometria

Home » Esercizio 1 ripasso goniometria e trigonometria

Esercizio 1. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Verifica la seguente identità:

$\left(\sin(\alpha)+\cos(\alpha)\right)^2-1=2\sin(\alpha)\cos(\alpha).$

Svolgimento. Per prima cosa calcoliamo il quadrato presente nel membro a sinistra sviluppando il quadrato di binomio:

$(\sin(\alpha)+\cos(\alpha))^2=\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)+2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

l’identità diventa

$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)+2\sin(\alpha)\cos(\alpha)-1=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

sottraendo il termine $2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ da entrambi i membri, sfruttando la proprietà invariantiva delle equazioni, si ottiene

$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)-1=0$

e sfruttando l’identità fondamentale della trigonometria otteniamo

(1) $\begin{align*} \underbrace{\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)}_{=1}-1=0 \Longleftrightarrow 1-1=0\Longleftrightarrow 0=0 \end{align*}$

da cui la tesi.

Fonte: Corso base blu di matematica di Massimo Bergami-Anna Trifone-Graziella Barozzi