Esercizio 9 ripasso geometria analitica (circonferenza e retta)

Ripasso geometria analitica

Home » Esercizio 9 ripasso geometria analitica (circonferenza e retta)
Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

 

Esercizio 9.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali:

(i) scrivere l’equazione della retta che passa per il punto A=(2,-1) ed è perpendicolare alla retta 4x-3y+12=0;

(ii) determinare la distanza del punto B=(-3,2) dalla retta 4x-3y+12=0;

(iii) scrivere l’equazione della retta passante per il punto (0,0) e tangente alla circonferenza \mathcal{C}:x^2+y^2-2x+y=0.

 

Svolgimento. Poiché (2,-1)\in r risulta -1=2m+p e quindi p=-2m-1, per cui r: y=m(x-2)-1. La perpendicolarità alla retta 4x-3y+12=0, la quale ha coefficiente angolare 4/3, implica che m=-3/4, da cui

    \[r:\qquad y=-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}\quad \Leftrightarrow\quad 3x+4y-2=0.\]

Di seguito la figura che rappresenta la situazione del primo punto:

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

 

(ii) Calcoliamo la distanza d di B da 4x-3y+12=0 (ricordare la formula della distanza da un punto ad una retta):

    \[d=\frac{|4(-3)-3(2)+12|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{6}{5}.\]

Di seguito la figura che rappresenta la situazione del secondo punto:

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

 

(iii) Consideriamo l’equazione generica di una retta per l’origine r_m: y=mx, di coefficiente angolare m. Poichè O\in\mathcal{C}, cerchiamo le rette r_m per cui r_m\cap \mathcal{C}=\{O\}. Sostituendo l’equazione y=mx in quella di \mathcal{C} otteniamo l’equazione in x a coefficienti dipendenti da m

    \[(m^2+1)x^2+(m-2)x=0,\]

la quale ammette radici

    \[x_1=0,\qquad x_2=\frac{2-m}{1+m^2}.\]

Segue che

    \[\mathcal{C}\cap r_m=\left\{O,\left(\frac{2-m}{1+m^2},\frac{2m-m^2}{1+m^2}\right)\right\},\]

e quindi deve essere

    \[\left(\frac{2-m}{1+m^2},\frac{2m-m^2}{1+m^2}\right)=(0,0)\quad \Leftrightarrow\quad m=2.\]

La retta cercata è quindi r_2: y=2x.

 

Altrimenti si poteva procedere mettendo a sistema la retta y=mx e l’equazione della circonferenza (com’è stato già fatto nel procedimento antecedente)

    \[\begin{cases} y=mx\\ x^2+y^2-2x+y=0, \end{cases}\]

da cui

    \[(m^2+1)x^2+(m-2)x=0,\]

e imporre che il \Delta dell’equazione di secondo grado spuria sia uguale a zero, cioè

    \[\Delta=m-2=0\quad \Leftrightarrow\quad m=2;\]

ritrovando la stessa soluzione ottenuta in precedenza. Di seguito la rappresentazione geometrica del terzo punto del problema.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Fonte: ignota.