Esercizio 9. 
Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali:
scrivere l’equazione della retta che passa per il punto 
ed è perpendicolare alla retta 
;
determinare la distanza del punto 
dalla retta ;
scrivere l’equazione della retta passante per il punto 
e tangente alla circonferenza 
.
Svolgimento. Poiché 
risulta 
e quindi 
, per cui 
. La perpendicolarità alla retta , la quale ha coefficiente angolare 
, implica che 
, da cui
![\[r:\qquad y=-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}\quad \Leftrightarrow\quad 3x+4y-2=0.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-368fb80571d9cdde5338f198ec663731_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Di seguito la figura che rappresenta la situazione del primo punto:
Calcoliamo la distanza 
di 
da (ricordare la formula della distanza da un punto ad una retta):
![\[d=\frac{|4(-3)-3(2)+12|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{6}{5}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e4c6b33cf66e7f4355e181c197f7ca6e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Di seguito la figura che rappresenta la situazione del secondo punto:
Consideriamo l’equazione generica di una retta per l’origine 
, di coefficiente angolare 
. Poichè 
, cerchiamo le rette 
per cui 
. Sostituendo l’equazione 
in quella di 
otteniamo l’equazione in 
a coefficienti dipendenti da
![\[(m^2+1)x^2+(m-2)x=0,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ffd22ee11c3e43482de49289439db737_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
la quale ammette radici
![\[x_1=0,\qquad x_2=\frac{2-m}{1+m^2}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ee07bda0ca4fb2ad8e7d0407ff76f789_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Segue che
![\[\mathcal{C}\cap r_m=\left\{O,\left(\frac{2-m}{1+m^2},\frac{2m-m^2}{1+m^2}\right)\right\},\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-03a8f2f2f0c23dc3f2b3f2ce951a31e1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e quindi deve essere
![\[\left(\frac{2-m}{1+m^2},\frac{2m-m^2}{1+m^2}\right)=(0,0)\quad \Leftrightarrow\quad m=2.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c364fc3df200fd4264bc1fb59a82758f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La retta cercata è quindi 
.
Altrimenti si poteva procedere mettendo a sistema la retta e l’equazione della circonferenza (com’è stato già fatto nel procedimento antecedente)
![\[\begin{cases} y=mx\\ x^2+y^2-2x+y=0, \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a86bccccc377c33cba5e4d003621ff4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
da cui
e imporre che il 
dell’equazione di secondo grado spuria sia uguale a zero, cioè
![\[\Delta=m-2=0\quad \Leftrightarrow\quad m=2;\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9a66ec692773f149589e48c888aedfdb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ritrovando la stessa soluzione ottenuta in precedenza. Di seguito la rappresentazione geometrica del terzo punto del problema.
Fonte: ignota.