Esercizio 9 ripasso geometria analitica (circonferenza e retta)

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Esercizio 9. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali:

$(i)$ scrivere l’equazione della retta che passa per il punto $A=(2,-1)$ ed è perpendicolare alla retta $4x-3y+12=0$ ;

$(ii)$ determinare la distanza del punto $B=(-3,2)$ dalla retta $4x-3y+12=0$ ;

$(iii)$ scrivere l’equazione della retta passante per il punto $(0,0)$ e tangente alla circonferenza $\mathcal{C}:x^2+y^2-2x+y=0$ .

Svolgimento. Poiché $(2,-1)\in r$ risulta $-1=2m+p$ e quindi $p=-2m-1$ , per cui $r: y=m(x-2)-1$ . La perpendicolarità alla retta $4x-3y+12=0$ , la quale ha coefficiente angolare $4/3$ , implica che $m=-3/4$ , da cui

$r:\qquad y=-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}\quad \Leftrightarrow\quad 3x+4y-2=0.$

Di seguito la figura che rappresenta la situazione del primo punto:

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$(ii)$ Calcoliamo la distanza $d$ di $B$ da $4x-3y+12=0$ (ricordare la formula della distanza da un punto ad una retta):

$d=\frac{|4(-3)-3(2)+12|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{6}{5}.$

Di seguito la figura che rappresenta la situazione del secondo punto:

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$(iii)$ Consideriamo l’equazione generica di una retta per l’origine $r_m: y=mx$ , di coefficiente angolare $m$ . Poichè $O\in\mathcal{C}$ , cerchiamo le rette $r_m$ per cui $r_m\cap \mathcal{C}=\{O\}$ . Sostituendo l’equazione $y=mx$ in quella di $\mathcal{C}$ otteniamo l’equazione in $x$ a coefficienti dipendenti da $m$

$(m^2+1)x^2+(m-2)x=0,$

la quale ammette radici

$x_1=0,\qquad x_2=\frac{2-m}{1+m^2}.$

Segue che

$\mathcal{C}\cap r_m=\left\{O,\left(\frac{2-m}{1+m^2},\frac{2m-m^2}{1+m^2}\right)\right\},$

e quindi deve essere

$\left(\frac{2-m}{1+m^2},\frac{2m-m^2}{1+m^2}\right)=(0,0)\quad \Leftrightarrow\quad m=2.$

La retta cercata è quindi $r_2: y=2x$ .

Altrimenti si poteva procedere mettendo a sistema la retta $y=mx$ e l’equazione della circonferenza (com’è stato già fatto nel procedimento antecedente)

$\begin{cases} y=mx\\ x^2+y^2-2x+y=0, \end{cases}$

da cui

$(m^2+1)x^2+(m-2)x=0,$

e imporre che il $\Delta$ dell’equazione di secondo grado spuria sia uguale a zero, cioè

$\Delta=m-2=0\quad \Leftrightarrow\quad m=2;$

ritrovando la stessa soluzione ottenuta in precedenza. Di seguito la rappresentazione geometrica del terzo punto del problema.

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Fonte: ignota.