Esercizio 7 ripasso geometria analitica (retta)

Ripasso geometria analitica

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Esercizio 7.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Del parallelogramma ABCD sono noti i vertici A(1,5), B(-4,-7), C(2,1). Calcola le coordinate del vertice D e il perimetro P.

 

Svolgimento. Le diagonali del parallelogramma si bisecano, cioè ciascuna divide l’altra in due segmenti congruenti. Ciò significa che si incontrano nel punto medio del segmento AC e nel punto medio del segmento BD, dunque M_{AC}=M_{BD}.
Graficiamente abbiamo

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Dal problema possiamo calcolare

    \[M_{AC} = \left(\dfrac{x_A+x_C}{2}, \dfrac{y_A+y_C}{2}\right) = \left(\dfrac{3}{2},3\right)\]

dunque anche

    \[M_{BD} = \left(\dfrac{3}{2},3\right)\]

da cui

    \[\begin{aligned} & \dfrac{x_B+x_D}{2}= \dfrac{3}{2}\quad \Leftrightarrow \quad x_D = 7\\ & \dfrac{y_B+y_D}{2} = 3 \quad \Leftrightarrow \quad y_D=13 \end{aligned}\]

quindi D(7,13). Di seguito rappresentiamo il parallelogramma

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Andiamo ora a trovare le misure dei lati

    \[\begin{aligned} & AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} = 13\\ & BC = \sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2} = 10 \end{aligned}\]

allora il perimetro è P = 2 \cdot 13 + 2 \cdot 10 = 46.

 

Fonte: Corso base blu di matematica – M.Bergamini, A.Trifone e G.Barozzi