Esercizio 6 ripasso geometria analitica (retta)

Ripasso geometria analitica

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Esercizio 6.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Considerati i punti A(-2a,-1) e B(a-5,-1) con a numero positivo, individua a in modo che il segmento AB sia pari a 7. Determina poi il punto C di ascissa 5 in modo che il triangolo ABC abbia area che misura 35.

 

Svolgimento. Poichè i punti A e B hanno stessa ordinata, possiamo scrivere

    \[AB = \vert x_B - x_A \vert = \vert 3a-5 \vert\]

Imponendo

    \[\vert 3a-5 \vert=7 \Leftrightarrow 3a-5 = 7 \, \vee \, 3a-5=-7 \Leftrightarrow a=4 \, \vee \, a=-\dfrac{2}{3}\]

Osserviamo che il valore a=-\frac{2}{3} non è accettabile per ipotesi. Dunque con a=4 i punti A e B sono rispettivamente (-8,-1) e (-1,-1).
Il punto C puo’ essere scritto come C(5,b) con b \in \mathbb{R}.
Rappresentiamo ora A e B e due punti C_1 e C_2. Il punto C_1(5,b) con b>0 e C_2(5,b) con b<0:

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L’area del triangolo ABC è data da

    \[S = \dfrac{AB \cdot CH}{2}\]

e dal problema abbiamo che

    \[\dfrac{AB \cdot CH}{2} = 35\]

Inoltre sappiamo che CH =\vert b+1 \vert in quanto H(5,-1), quindi

    \[\dfrac{7 \cdot \vert b+1 \vert}{2} = 35\quad \Leftrightarrow \quad \vert b+ 1 \vert = 10 \quad  \Leftrightarrow \quad b+1 = 10 \,\vee \, b+1=-10 \Leftrightarrow b=9 \, \vee \, b=-11\]

quindi i punti C tali per cui il triangolo
ABC abbia area pari a 35 sono C_1(5,9) e C_2(5,-11).

 

Fonte: Corso base blu di matematica – M.Bergamini, A.Trifone e G.Barozzi